Question

6．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图所示，曲线上的A点曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．在倾角为θ的斜面顶部，以初速度v₀水平抛出一质量为m的小球，求：
（1）小球与斜面相距最远时速度的大小？
（2）此最远点处的曲率半径ρ？

Answer 1

分析 （1）当速度与斜面平行时，距离斜面最远，结合平行四边形定则求出小球与斜面相距最远时速度的大小．
（2）根据平行四边形定则求出重力沿圆心方向的分力，结合向心力公式求出在最远处的曲率半径．

解答 解：（1）分析题意可知相距最远时，速度v与斜面平行，分解v有：v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$；
（2）由于速度v与该处曲线相切，该处曲线又与该处曲率圆重合，因此速度v与该处曲率圆也相切．所以指向圆心的向心力是重力沿圆心方向的分力：mgcosθ，
由$mgcosθ=m\frac{{v}^{2}}{ρ}$及v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$得：ρ=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{gco{s}^{3}θ}$．
答：（1）小球与斜面相距最远时速度的大小为$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$；
（2）此最远点处的曲率半径为$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{gco{s}^{3}θ}$．

点评 解决本题的关键能够从题干中获取有用的信息，比如曲率半径，知道速度方向与斜面平行时，距离斜面最远．