Question

14．如图所示，光滑平行金属导轨与水平面间的倾角为θ，导轨电阻不计，与阻值为R的定值电阻相连，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过导轨平面，有一质量为m长为l的导体棒从ab位置获得平行斜面的大小为v的初速度向上运动，最远到达a′b′的位置，滑行的距离为s，导体棒内阻不计，试求：
（1）上滑过程中导体棒受到的最大加速度；
（2）上滑到a′b′过程中电阻R产生的热量；
（3）导体棒下滑过程的最大速度．（设导轨足够长）

Answer 1

分析 （1）导体棒向上做减速运动，开始时速度最大，产生的感应电流最大，受到的安培力最大，加速度最大，由E=Blv、I=$\frac{E}{R}$、F_A=BIl求出最大安培力，再由牛顿第二定律求得最大加速度．
（2）由能量守恒定律研究热量．回路中产生的热量等于导体棒克服安培力做的功．上滑的过程中导体棒的动能减小，重力势能增加，即可求得机械能的损失，从而得到热量．
（3）导体棒下滑过程中匀速运动时速度最大，根据能量守恒定律列式求解最大速度．

解答 解：（1）导体棒开始上滑时速度最大，产生的感应电动势和感应电流最大，所受的安培力最大，由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F_A=BIl得：
最大安培力为 F_A=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R}$，方向沿导轨向下
根据牛顿第二定律得：mgsinθ+F_A=ma_m；
则得最大加速度为 a_m=gsinθ+$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{mR}$
（2）上滑过程中导体棒的动能减小，转化为内能和重力势能，根据能量守恒可知，电阻R产生的热量 Q=$\frac{1}{2}$mv²-mgssinθ
（3）导体棒下滑过程中匀速运动时速度最大，此时重力的功率等于电功率，则有
  mgsinθ•v_m=$\frac{{E}^{2}}{R}$
又 E=Blv_m；
联立解得最大速度为 v_m=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{l}^{2}}$
答：
（1）上滑过程中导体棒受到的最大加速度为gsinθ+$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{mR}$．
（2）电阻R产生的热量是$\frac{1}{2}$mv²-mgssinθ．
（3）导体棒下滑过程的最大速度是$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{l}^{2}}$．

点评 本题从两个角度研究电磁感应现象，一是力的角度，关键是推导安培力的表达式；二是能量的角度，关键分析涉及几种形式的能，分析能量是如何转化的．