Question

5．伦敦奥运会女子10米（即跳台距水面10m）跳台比赛中，我国小将陈若琳技压群芳夺得冠军，设陈的质量为m=60kg，其体形可等效为长度l=1.0m，直径d=0.3m的圆柱体，不计空气阻力，当她跳起到达最高点时，她的重心离跳台台面的高度为0.70m，在从起跳到接触水面过程中完成一系列动作，入水后水的等效阻力F（不包括浮力）作用于圆柱体的下端面，F的数值随入水深度y变化的函数图象如图所示，该直线与F轴相交于F=2.5mg处，与y轴相交于y=h（某一未知深度）处，为了确保运动员的安全，水池必须有一定的深度，已知水的密度ρ=1×10³kg/m³，g取10m/s²，根据以上数据估算：
（1）起跳瞬间所做的功；
（2）从起跳到接触水面过程的时间；
（3）跳水池至少应为多深？（保留两位有效数字）

Answer 1

分析 （1）运用动能定理研究运动员站立在跳台上向上跳起到达最高点求出运动员起跳瞬间所做的功．
（2）根据机械能守恒定律研究运动员起跳到接触水面的过程，同时结合运动学公式列式求解．
（3）F的数值随入水深度y变化的函数图象面积就是水阻力做的功，根据动能定理研究运动员从刚接触水面到最深处过程求解．

解答 解：（1）根据动能定理，运动员起跳瞬间做功为：W=mg（h₁-$\frac{L}{2}$）；
其中h₁=0.7m，代入数据得：W=60×10×（0.7-$\frac{1}{2}$）=120J；
（2）起跳到接触水面的过程为竖直上抛运动，根据机械能守恒定律，对上升过程，有：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=mg（h₁-$\frac{L}{2}$）
代入数据得：v₀=2m/s；
根据位移时间关系公式，有：
h₂=v₀t-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
-10=2t-$\frac{1}{2}×10×{t}^{2}$
代入数据得：t=1.63s；
（3）起跳到入水到最低点，设水池至少为h深，入水过程克服水的阻力做的功为$\frac{F}{2}h$，克服浮力的功为$\frac{{F}_{浮}}{2}L+{F}_{浮}（h-L）$，而浮力F_浮=$\frac{ρπ{d}^{2}}{4}gL$，
根据动能定理得：
W+mg（h₂+h）-$\frac{F}{2}h$-[$\frac{{F}_{浮}}{2}L+{F}_{浮}（h-L）$]=0
代入数据，得：h=7.6m；
答：（1）运动员起跳瞬间所做的功为120J；
（2）运动员从起跳到接触水面过程的时间为1.63s；
（3）跳水池至少应为7.6m深．

点评 本题关键明确运动员的运动过程，然后根据机械能守恒定律、运动学公式、动能定理列式后联立求解，较难．