Question

3．如图所示，一长L、质量均匀为M的柔软绳套在一表面光滑、顶角为α的圆锥上，当柔绳在圆锥面上静止时，柔绳中的张力是多少？

Answer 1

分析 取软绳中很小的一段质量元进行分析，根据受力分析可求得张力与合力的关系；再由共点力的平衡条件可明确合力与重力之间的关系；联立可求得张力T．

解答 解：作出俯视图，设质量元△m两端所受张力为T，其合力为F，因为它所对的圆心角θ很小，所以sinθ等价于θ，即：
F=2Tsin（$\frac{θ}{2}$）=Tθ．
再作出正视图，质量元受重力△mg、支持力N和张力的合力F而处于平衡状态，由几何知识可得：
F=△mgcot（$\frac{α}{2}$）=$\frac{θ}{2π}$Mgcot（$\frac{α}{2}$）
所以软绳内的张力为：
T=$\frac{F}{2}$=$\frac{mgcos（\frac{α}{2}）}{2π}$
答：柔绳中的张力是为$\frac{mgcos（\frac{α}{2}）}{2π}$

点评 本题采用微元法进行分析，要注意明确绳上的张力与弹力之间的关系；并能正确根据共点力的平衡进行分析求解，难度较大．