Question

如图所示，一根不可伸长的轻绳跨过光滑的水平轴O，两端分别连接质量为m的小球A和质量为4m的物块B，物块B置于O点正下方的水平面上，拉直绳使OA水平，此时OA的长度为L．
（1）小球A由静止释放绕O点转过90°时，求小球的速度大小和物块对地面的压力．
（2）若保持A的质量不变，将B换成质量也为m的物块，使绳OA水平，当小球A由静止释放转到O点正下方时，物块B的速度大小为v，求小球A的速度大小和方向（设A与B不会相碰，方向用三角函数表示）．

Answer 1

分析：（1）小球A由静止释放向下摆动的过程中，只有重力做功，其机械能守恒，由机械能守恒定律列式求出小球AA摆到OO点正下方时的速度，此时由重力和绳子的拉力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出地面对A的支持力，分析B的状态，由平衡条件和牛顿第三定律求物块对地面的压力．
（2）若保持A的质量不变，将B换成质量也为m的物块，A向下舞动时，B将上升．两球组成的系统机械能守恒．当小球A由静止释放转到O点正下方时，A球沿绳子方向的分速度等于B的速度，根据系统的机械能守恒和两球的速度关系列式，求小球A的速度大小和方向．

解答：解：（1）对A球，在OA转过90°的过程，设小球A在O点正下方时的速度为v₀，由机械能守恒得：
mgL=

1

2

m

v

2 0

解得：v₀=

2gL

A在O点正下方时，设绳对小球A的拉力为T，地面对物块的支持力为N_B
对小球有：T-mg=m

v 2 0

L

解得：T=3mg
绳对物块B的拉力 T′=T=3mg
对物块：N_B+T′=m_Bg
解得：N_B=m_Bg-T′=4mg-3mg=mg
由牛顿第三定律可知，物块B对地面的压力大小 N_B′=N_B=mg，方向竖直向下．
（2）设小球A在O点正下方时的速度大小为v_A，与水平向左方向成θ角斜向下．
对小球A和物块B组成的系统，由机械能守恒有：
mgL=

1

2

mv2+

1

2

m

v

2 A

        
解得：v_A=

2gL-v2

                                             
小球A在O点正下方时速度的竖直分量：v_Ay=v
速度分解如图所示
则速度方向与水平向右夹角θ的正弦值 sinθ=

vAy

vA

=

v

2gL-v2

答：
（1）小球A由静止释放绕O点转过90°时，小球的速度大小是

2gL

，物块对地面的压力是mg，方向竖直向下．
（2）小球A的速度大小为v_A=

2gL-v2

，速度方向与水平向右夹角θ的正弦值为

v

2gL-v2

．

点评：第1题中一个小球向下摆动时，其机械能守恒．第2题中系统的机械能守恒问题，关键点是寻找两个小球速度的关系．