Question

如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置在水平地面上，两个质量均为m的小球a、b以不同的速度进入管内，a通过最高点A时，对管内壁上侧的压力为3mg，b通过最高点A时，对管内壁下侧的压力为0.75mg，求：
（1）a、b两球通过半圆管最高点A时的速度大小分别为多少？
（2）a、b两球落地点间的距离．
（3）a通过半圆管最低点B时对管壁的压力．

Answer 1

分析：（1）a球到达最高点时，管壁对球的弹力方向向下，大小为3mg，由重力和弹力提供向心力，由牛顿第二定律求出a球在最高点速度．b球到达最高点时，管壁对球的弹力方向向上，大小为0.75mg，由重力和弹力提供向心力，由牛顿第二定律求出a球在最高点速度．
（2）两球从最高点飞出后均做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由高度2R求出运动时间．水平方向做匀速直线运动，由速度和初速度求解水平位移，a、b两球落地点间的距离等于位移之差．
（3）根据机械能守恒算出a通过半圆管最低点B时的速度，根据向心力公式即可求得对管壁的压力．

解答：解：（1）设a、b两球通过半圆管最高点A时的速度分别为v_a、v_b，由园周运动知识
对a球  3mg+mg=m

va2

R

  
 va=2

gR

  
对b球  mg-0.75mg=m

vb2

R

vb=0.5

gR

（2）a、b两球通过半圆管最高点A后，做平抛运动，设运动时间为t，落地间后的间距为△x
2R=

1

2

gt2     
△x=v_at-v_bt     
解得△x=3R       
（3）小球a从B到A机械能守恒，设a通过半圆管最低点B时的速度为v_AB，

1

2

mva2+2mgR=

1

2

mvAB2     
 vAB=

8gR

   
设在B点轨道对a球的作用力为F
F-mg=m

vAB2

R

F=9mg  
由牛顿第三定律可知，小球a对管壁的压力
F′=9mg    方向向下     
答：（1）a、b两球通过半圆管最高点A时的速度大小分别为va=2

gR

、vb=0.5

gR

；（2）a、b两球落地点间的距离为3R．
（3）a通过半圆管最低点B时对管壁的压力为9mg，方向向下．

点评：本题是向心力知识和平抛运动的综合应用，常规题，考试时不能失误．