Question

11．如图甲所示，质量m_l=3kg的滑块C（可视为质点）放置于光滑的平台上，与一处于自然长度的弹簧接触但不相连，弹簧另一端固定在竖直墙壁上．平台右侧的水平地面上紧靠平台依次排放着两块木板A、B．已知木板A、B的长度均为L=5m，质量均为m₂=l.5kg，木板A、B上表面与平台相平，木板A与平台和木板B均接触但不粘连．滑块C与木板A、B间的动摩擦因数为μ₁=0.3，木板A、B与地面间的动摩擦因数μ₂=0.1．现用一水平向左的力作用于滑块C上，将弹簧从原长开始缓慢地压缩0.2m的距离，然后将滑块C由静止释放，此过程中弹簧弹力大小F随压缩量x变化的图象如图乙所示．设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10m/s²．求：

（1）滑块C刚滑上木板A时的速度；
（2）滑块C刚滑上木板A时，木板A、B及滑块C的加速度；
（3）从滑块C滑上木板A到整个系统停止运动所需的时间．

Answer 1

分析 （1）根据由F-x图象的“面积”求出弹力对C做功，再由动能定理求滑块C刚滑上木板A时的速度．
（2）根据牛顿第二定律求木板A、B及滑块C的加速度．
（3）分过程研究三个物体的运动情况：滑块C在木板A上运动时C与AB的相对位移等于l，由位移时间公式求出时间，得到滑块C离开木板A时A、B、C各自的速度．滑块C在木板B上滑动时，求出两者达到共同速度的时间和位移，再求一起匀减速运动的时间，从而得到总时间．

解答 解：（1）由F-x图象：${w_弹}=\frac{1}{2}Fx$
设滑块C刚滑上木板A时的速度为v₀，由动能定理：${w_弹}=\frac{1}{2}mv_0^2$
得：v₀=7m/s（1 分）
（2）设滑块C在上木板A上滑动时，滑块C的加速度为a₁，木板A、B的加速度为a₂
根据牛顿第二定律得：
  μ₁m₁g=m₁a₁
$得：{a_1}=3m/{s^2}$
又 μ₁m₁g-μ₂（m₁+2m₂）g=2m₂a₂
$得：{a_2}=1m/{s^2}$
（3）设滑块C在木板A上滑动时间t₁．由位移关系可得：
  $\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$+L=v₀t₁-$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$
解得 t₁=1s  或t₁=2.5s舍去
设滑块C离开木板A时的速度为v_c，木板A、B的速度为v_A、v_B
 $\begin{array}{l}{v_c}={v_0}-{a_c}{t_1}=4m/s\\{v_B}={v_A}={a_2}{t_1}=1m/s\end{array}$
滑块C在木板B上滑动时，滑块C的加速度仍为a₁，设木板B的加速度为a_B
则 μ₁m₁g-μ₂（m₁+m₂）g=m₁a_B　　
$得：{a_B}=3m/{s^2}$
设经过时间为t₂，B、C达到共同速度为v
则
  $\begin{array}{l}v={v_c}-{a_1}{t_2}={v_B}+{a_B}{t_2}\\{t_2}=0.5s\end{array}$　　
解得  v=2.5m/s
从滑块C滑上木板B到与木板B速度相同的过程中，滑块C与木板B的相对位移为 $△x=\frac{{{v_c}+v}}{2}{t_2}-\frac{{{v_B}+v}}{2}{t_2}=0.75m＜5m$
可知此过程中C未离开B，又因为μ₁＞μ₂，B、C共速后无相对运动，设B、C一起减速运动的加速度为a，运动时间为t₃　　　　μ₂（m₁+m₂）g=（m₁+m₂）a
得a=1m/s²　　　　
 $\begin{array}{l}0=v-a{t_3}\\{t_3}=2.5s\end{array}$
则从滑块C滑上木板A到整个系统停止运动所用的时间t=t₁+t₂+t₃=4s
答：
（1）滑块C刚滑上木板A时的速度是7m/s：
（2）滑块C刚滑上木板A时，木板A、B及滑块C的加速度分别为3m/s²和1m/s²；
（3）从滑块C滑上木板A到整个系统停止运动所需的时间是4s．

点评 本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合，关键能够正确地受力分析，结合牛顿第二定律和运动学公式分析物体的运动情况，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．