Question

如图所示为建筑工地常用的一种“深穴打夯机”.工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转动将夯从深为h的坑中提上来，两个滚轮彼此分开，夯杆被释放，最后夯在自身重力作用下，落回深坑，夯实坑底. 然后，两个滚轮再次压紧夯杆，夯再次被提上来，如此周而复始. 已知两个滚轮的半径R=0.2m，转动的角速度ω=204rad/s，每个滚轮对夯杆的正压力F­N=2×104N，滚轮与夯杆间的动摩擦数μ=0.3，夯的总质量m=1×103kg，坑深h=6.4m. 假定在打夯的过程中每次坑的深度变化不大，且夯从底端升到坑口时，滚轮将夯杆释放. 不计空气阻力，取g=10m/s2.

求：（1）夯杆被滚轮压紧加速上升至与滚轮速度相等时，此时夯的底端离坑底的高度h₁；

   （2）夯的运动周期T；

   （3）每个周期中，提升夯的过程中电动机所做的功W.

Answer 1

（1）设滚轮的边缘转动的线速度为v，则v=ωR=4m/s

     夯加速上升的加速度为a，由牛顿第二定律得

       当夯上升速度为v时，有

       代入数据解得

（2）设夯加速上升的时间为t₁，则

       设夯匀速上升的时间为t₂，则

       设夯从坑口上升到最高点的时间为t₃，则

       设夯从最高点下落到坑底的时间为t₄，夯上升的最大高度为h₂.

       则

      

       夯运动的周期T= t₁+ t₂+ t₃+ t₄=4.2s

（3）设夯加速上升过程滚轮转动的距离为s，则s=vt₁=8m

       夯杆相对滚轮滑动的距离为△s，△s=s－h₁=4m，因相对滑动产生的热

      

       夯获得的动能

       夯上升的高度获得的重力势能

       则，电动机每个周期所做的功W=Q+E_K+E_P

    即