Question

3．如图所示，xOy平面的第Ⅱ象限的某一位置由垂直纸面向外的矩形匀强磁场区域（图中未画出），矩形匀强磁场的大小为B₁=1T，在第Ⅰ象限内有平行于y轴竖直向下的匀强电场，在第Ⅳ象限内有一半径R=$\sqrt{2}$m的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B₂=1T，圆心坐标为（6m，-$\sqrt{2}$m）．有一质量m=10^-12kg，电量q=10^-7C的正电粒子从O点以速度v₀=1×10⁵m/s，沿与y轴正向成θ=30°方向射入第Ⅱ象限，经磁场偏转后，立即从y轴上的点P（0，3m）垂直于y轴射入第Ⅰ象限的电场中，又从x轴上的点Q（6m，0）进入第Ⅳ象限的圆形磁场中，最后经匀强磁场，粒子穿过y轴．不计粒子的重力．
求：
（1）电场强度E的大小；
（2）矩形磁场B₁的最小面积S；
（3）粒子穿过y轴上的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）根据带电粒子在电场中的运动规律及牛顿第二定律可求得电场强度大小；
（2）粒子在磁场1中做圆周运动，根据几何关系以及洛伦兹力充当向心力可明确最小面积；
（3）根据第一象限中的类平抛运动规律以及第四象限中的带电粒子在磁场中的偏转规律，根据几何关系可明确粒子穿过y轴上的位置坐标．

解答 解：（1）带正电粒子在电场中做类平抛运动，则有：
x方向上：x_Q=v0t
y方向上：y_P=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由牛顿第二定律可知：
qE=ma
解得：E=$\frac{1}{6}$×10⁵V/m=1.67×10⁴V/m；
（2）粒子在B₁磁场区域中运动，轨迹如图甲所示；
则有：
qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$
由几何关系可知：
S_min=ab
a=$\frac{1}{2}r$
b=$\sqrt{3}$r
解得：
S_min=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m²；
（3）粒子在圆形磁场中运动，轨迹如图乙所示则：
粒子经电场偏转后进入磁场时
qE=ma
v_y=at
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
根据洛伦兹力充当向心力可知：
qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$
由几何关系可知，四边形QO₃MO₂为菱形，粒子将沿x轴负方向穿过y轴
由几何关系可知：
tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
y=-（r₂+r₂cosα）
解得：y=-$\sqrt{2}$-1
所以粒子穿过的坐标为：（0，-$\sqrt{2}$-1）
答：（1）电场强度E的大小1.67×10⁴V/m；
（2）矩形磁场B₁的最小面积S为$\frac{\sqrt{3}}{2}$m²；
（3）粒子穿过y轴上的位置坐标：（0，-$\sqrt{2}$-1）．

点评 本题考查带电粒子在电场和磁场中运动规律，要注意正确分析洛伦兹力的方向，明确几何关系的正确应用，是解决此类问题的关键．