Question

20．如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ=30°，传送带在电动机的带动下，始终保持v₀=2m/s的速率运行，现把一质量为m=10kg的工件（可看做质点）轻轻放在传送带的底端，工件与传送带之间的摩擦系数μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，经过时间t=1.9s，工件被传送到顶端，取g=10m/s²求：
（1）传送带的长度；
（2）这个过程中产生热量Q
（3）电动机由于传送工件多消耗的电能．

Answer 1

分析 （1）分析工件的受力情况，工件受到重力、支持力和沿斜面向上的滑动摩擦力作用，合力沿斜面向上，工件做匀加速运动，速度与传送带相等后，工件与传送带一起向上做匀速运动；由牛顿第二定律求出匀加速运动的加速度；再位移时间公式求解传送带的长度．
（2）根据相对位移求摩擦生热Q．
（3）由功能关系知道电动机多消耗的电能都用来对系统做功了，而多做的功一定转化成了系统的能量，从题意中分析出系统增加的能量有物体的动能、重力势能和由于摩擦产生的热能．

解答 解：（1）工件开始阶段做匀加速直线运动，由牛顿第二定律，得：
μmgcosθ-mgsinθ=ma
得：a=μgcosθ-gsinθ=2.5m/s²．
加速至速度与传送带相同时通过的位移为：x₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$=$\frac{{2}^{2}}{2×2.5}$=0.8m，
所用时间为：t₁=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{2}{2.5}$s=0.8s
在接下来的1.1s内工件做匀速直线运动，通过的位移为：x₂=v₀t₂=2.2m
故传送带的长度为：L=x₁+x₂=3m
（2）在时间t₁内，皮带运动的位移：x₂=v₀t₁=1.6m
工件相对皮带的位移为△x=x₂-x₁=0.8m
在时间t₁内，皮带与工件的摩擦生热为：Q=μmgcosθ•△x=60J
（3）工件获得的动能为：E_k=$\frac{1}{2}$mv₀²=20J
工件增加的势能为：E_p=mgLsin30°=150J
电动机多消耗的电能为：W=Q+E_k+E_p=230J
答：（1）传送带的长度是3m；
（2）这个过程中产生热量Q是60J；
（3）电动机由于传送工件多消耗的电能是230J．

点评 本题是物体倾斜传送带上有相对运动的问题，第一问中判断物体是先加速后匀速是难点；第二问中由于摩擦产生的热量要根据相对位移求，这是本题的关键．