Question

18．我国的火星探测任务基本确定，发射时间大致在2018年，这将是人类火星探测史上前所未有的盛况．已知引力常量G，根据下列测量的数据可以求出火星密度的是（　　）

• A． 在火星表面以大小为v的速度竖直上抛一小球，测出其在空中运动的时间t
• B． 测出火星绕塌秧公转半径r和运行周期T
• C． 火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动，测出运行周期T
• D． 火星探测器在高空绕火星做匀速圆周运动，测出距火星表面的高度h和运行周期T

Answer 1

分析 求火星的密度就是要求出火星的质量和体积，求火星的质量可以根据万有引力提供圆周运动向心力及万有引力与重力相等来求，再根据密度公式求解火星的密度．

解答 解：A、火星表面重力加速度$g=\frac{v}{\frac{t}{2}}=\frac{2v}{t}$，火星表面物体重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，又M=ρV，$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$联立得$ρ=\frac{3g}{4πRG}$，因火星半径未知，故密度无法求，故A错误．
B、根据万有引力等于向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得太阳质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，只能求出中心天体太阳的质量，故B错误
C．火星的近地卫星万有引力提供向心力，有G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，M=ρV，$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$，联立得$ρ=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，所以火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动，测出运行周期T能测出火星的密度，故C正确．
D、根据万有引力等于向心力，有G$\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$，得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，M=ρV，$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$，联立得$ρ=\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$，因为火星半径未知，所以无法求密度，故D错误．
故选：C

点评 掌握万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力这两种计算中心天体质量的方法是解决问题的关键．