Question

9．半径为r的竖直光滑圆轨道固定在光滑木板AB中央，置于光滑水平桌面．圆轨道和木板AB的总质量为m，木板AB两端被限定，无法水平移动，可竖直移动．木板AB的右端放置足够长的木板CD，其表面与木板AB齐平，质量为2m．一个质量为m的滑块（可视为质点）从圆轨道最低点以一定的初速度v₀向右运动进入圆轨道，运动一周后回到最低点并向右滑上水平木板AB和CD，最终与木板CD保持相对静止，滑块与木板CD间动摩擦因数为μ，其余摩擦均不计，则：

（1）为保证滑块能通过圆轨道的最高点，求初速度v₀的最小值；
（2）为保证滑块通过圆轨道的最高点时，木板AB不离开地面，求初速度v₀的最大值；
（3）若滑块恰能通过圆轨道最高点，求滑块在木板CD上滑动产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）滑块恰好能通过圆轨道的最高点时，由重力提供向心力，由此求得小球通过最高点的最小速度．再由机械能守恒定律求初速度v₀的最小值；
（2）要使木板AB不离地，滑块在最高点时对轨道的压力最大为F_N=mg，由向心力公式求得最高点的最大速度，再由机械能守恒定律求出初速度v₀的最大值；
（3）滑块恰能通过圆轨道最高点，由重力充当向心力，由机械能守恒定律求滑块最低点的初速度．由受力分析可知，滑块在木板CD上做匀减速直线运动，木板CD做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律和位移公式结合求得滑块与木板间的相对位移，再求滑块在木板CD上滑动产生的热量Q．

解答 解：（1）滑块在最高点，速度最小时有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$
从最低点到最高点的过程中，滑块机械能守恒，
设滑块最低点的初速度为v₀₁，根据机械能守恒定律得
   2mgr+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{01}^{2}$
解得 v₀₁=$\sqrt{5gr}$
（2）要使木板AB不离地，滑块在最高点时对轨道的压力最大为F_N=mg，滑块在最高点，速度最大时有：F_N+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$
设滑块最低点的初速度为v₀₂时，在最高点有最大速度，根据机械能守恒定律得
 2mgr+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{02}^{2}$
解得 v₀₂=$\sqrt{6gr}$
（3）由（1）可知，滑块恰能通过最高点，并由机械能守恒可得，滑块滑到木板CD时的初速度为 v₀₁=$\sqrt{5gr}$；
由受力分析可知，滑块在木板CD上做匀减速直线运动，木板CD做匀加速直线运动，加速度大小分别为 a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg
 a₂=$\frac{μmg}{2m}$=$\frac{1}{2}$μg
设经过时间t，两者速度相等均为v，则有
  v=v₀-a₁t=a₂t
解得 t=$\frac{2\sqrt{5gr}}{3μg}$，v=$\frac{1}{3}\sqrt{5gr}$
这段时间内，滑块位移为 x₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}t$=$\frac{20r}{9μ}$
木板CD的位移为 x₂=$\frac{v}{2}t$=$\frac{5r}{9μ}$
滑块相对木板CD的位移为 S_相对=x₁-x₂=$\frac{5r}{3μ}$
故这一过程中产生的热量为 Q=fS_相对=μmg•$\frac{5r}{3μ}$=$\frac{5}{3}$mgr
答：
（1）为保证滑块能通过圆轨道的最高点，初速度v₀的最小值是$\sqrt{5gr}$；
（2）为保证滑块通过圆轨道的最高点时，木板AB不离开地面，初速度v₀的最大值是$\sqrt{6gr}$；
（3）若滑块恰能通过圆轨道最高点，滑块在木板CD上滑动产生的热量Q是$\frac{5}{3}$mgr．

点评 解决本题的关键是理清物体的运动过程，把握圆周运动最高点的临界条件，运用机械能守恒定律、牛顿第二定律和运动学公式进行研究．