Question

14．如图所示为某药厂自动生产流水线的部分装置，药片从漏斗口A经过光滑槽板到达传送带，若传送带和水平方向的夹角为α，漏斗口A到达传送带的竖直高度AB为h，若要使药片滑到传送带上的时间最短，则滑槽和竖直方向的夹角β为$\frac{α}{2}$，滑槽的长度为$\frac{hcosα}{cos\frac{α}{2}}$．

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求出在斜面上运动的加速度大小，根据几何关系表示出斜面的长度，再根据x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得到时间的表达式，由数学知识求解．

解答 解：设滑槽的长度为s．由正弦定理得：$\frac{s}{sin（90°-α）}$=$\frac{h}{sin[180°-β-（90°-α）]}$
解得：s=$\frac{hcosα}{cos（β-α）}$
加速度为：a=$\frac{mgcosβ}{m}$=gcosβ
由s=$\frac{1}{2}$at²得：t=$\sqrt{\frac{2s}{a}}$=$\sqrt{\frac{2hcosα}{gcos（β-α）cosβ}}$
设y=gcos（β-α）cosβ，则y的导数为：y′=g[-sin（β-α）cosβ-cos（β-α）sinθ]=gsin（α-2β）
当y′=0时，即β=$\frac{α}{2}$时y有最大，t有最小值．此时有：
s=$\frac{hcosα}{cos\frac{α}{2}}$
故答案为：$\frac{α}{2}$，$\frac{hcosα}{cos\frac{α}{2}}$．

点评 解决本题的关键运用牛顿第二定律和运动学公式得到时间表达式，运用数学知识分析和求解．