Question

20．如图所示，LMN是竖直平面内固定的光滑轨道，MN水平且足够长，LM下端与MN相切，质量为m₂的小球B静止在水平轨道上，质量为m₁的小球A从LM上距水平轨道高为h处由静止释放，A球进人水平轨道后，与B球发生弹性碰撞．两小球均可视为质点，已知重力加速度为g．要使A、B两球至少发生两次碰撞，m₁与m₂应满足怎样的关系？

Answer 1

分析 要使A、B两球至少发生两次碰撞，第一次碰撞后A球的速度大小必须大于B球的速度，根据弹性碰撞过程动量守恒和能量守恒列式求解．

解答 解：设A球与B球第一次碰撞前速度为v₀，碰撞后A球和B球的速度分别为v_A和v_B．
A球从LM轨道上下滑的过程，由机械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
得：v₀=$\sqrt{2gh}$
对于A、B碰撞的过程，取向右为正方向，根据动量守恒定律和能量守恒定律得：
m₁v₀=m₁v_A+m₂v_B
$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{B}^{2}$
解得：v_A=$\frac{{m}_{1}-{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₀，v_B=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$v₀；
要使A、B两球至少发生两次碰撞，第一次碰撞后A球反向弹回，且A球的速度大小必须大于B球的速度．则有
 v_A＜0，且，|v_A|＞v_B，
联立解得：m₁＜$\frac{1}{3}$m₂．
答：要使A、B两球至少发生两次碰撞，m₁与m₂应满足的关系为m₁＜$\frac{1}{3}$m₂．

点评 解决本题的关键要掌握弹性碰撞的基本规律：动量守恒和能量守恒，明确临界条件，运用不等式法研究．