Question

20．为了进一步提高回旋加速器的能量，科学家建造了“扇形聚焦回旋加速器”．在扇形聚焦过程中，离子能以不变的速率在闭合平衡轨道上周期性旋转．扇形聚焦磁场分布的简化图如图所示，圆心为O的圆形区域等分成六个扇形区域，其中三个为峰区，三个为谷区，峰区和谷区相间分布．峰区内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，谷区内没有磁场．质量为m，电荷量为q的正离子，以不变的速率v旋转，其闭合平衡轨道如图中虚线所示．
（1）求闭合平衡轨道在峰区内圆弧的半径r，并判断离子旋转的方向是顺时针还是逆时针；
（2）求轨道在一个峰区内圆弧的圆心角θ，及离子绕闭合平衡轨道旋转的周期T；
（3）在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B′，新的闭合平衡轨道在一个峰区内的圆心角θ变为90°，求B′和B的关系．已知：sin（α±β ）=sinαcosβ±cosαsinβ，cosα=1-2sin²$\frac{α}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动的半径公式和左手定则求解
（2）离子在峰区运动轨迹是圆弧，在谷区做匀速直线运动，根据几何关系求出圆弧所对的圆心角，根据$t=\frac{s}{v}$求出离子绕闭合平衡轨道一周的时间，即离子绕闭合平衡轨道旋转的周期T
（3）根据几何关系求出谷区圆弧所对的圆心角，峰区和谷区圆弧的弦长相等，列出等式求出B′与B之间的关系；

解答 解：（1）峰区内圆弧半径$r=\frac{mv}{qB}$①
旋转方向为逆时针方向②

（2）由对称性，峰区内圆弧的圆心角$θ=\frac{2π}{3}$③
每个圆弧的长度$l=\frac{2πr}{3}=\frac{2πmv}{3qB}$④
每段直线长度$L=2rcos\frac{π}{6}=\sqrt{3}r=\frac{\sqrt{3}mv}{qB}$⑤
周期$T=\frac{3（l+L）}{v}$⑥
代入得$T=\frac{（2π+3\sqrt{3}）m}{qB}$⑦
（3）

谷区内的圆心角θ=120°-90°=30°⑧
谷区内的轨道圆弧半径$r′=\frac{mv}{qB}$⑨
由几何关系$rsin\frac{θ}{2}=r′sin\frac{θ′}{2}$⑩
由三角关系$sin\frac{30°}{2}=sin15°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$⑪
代入得$B′=\frac{\sqrt{3}-1}{2}B$⑫
答：（1）闭合平衡轨道在峰区内圆弧的半径r为$\frac{mv}{qB}$，离子旋转的方向是逆时针；
（2）轨道在一个峰区内圆弧的圆心角θ是$\frac{2π}{3}$，及离子绕闭合平衡轨道旋转的周期T为$\frac{（2π+3\sqrt{3}）m}{qB}$；
（3）在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B′，新的闭合平衡轨道在一个峰区内的圆心角θ变为90°，B′和B的关系是$B′=\frac{\sqrt{3}-1}{2}B$．

点评 本题是带电粒子在磁场中运动的综合题，根据题意作出粒子的运动轨迹，运用数学知识求出粒子在磁场区中做圆周运动的轨道半径、粒子转过的圆心角，是本题的难点．