Question

如图所示，水平地面上OP段是粗糙的，OP长为L=1.6m，滑块A、B与该段的动摩擦因数都为μ=0.5，水平地面的其余部分是光滑的．滑块B静止在O点，其质量m_B=2kg．滑块A在O点左侧以v₀=5m/s的水平初速度向右运动，并与B发生碰撞．A的质量是B的K（K取正整数）倍，滑块均可视为质点，取g=10m/s²．
（1）若滑块A与B发生完全非弹性碰撞，求A、B碰撞过程中损失的机械能；
（2）若滑块A、B构成的系统在碰撞过程中没有机械能损失，试讨论K在不同取值范围时滑块A克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：（1）若滑块A与B发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒求出碰后的共同速度，碰撞过程中损失的机械能等于碰撞前后动能的减少．
（2）若滑块A与B发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒列式，求出碰后两物的速度．假设滑块A、B都能在OP段滑动，滑块A、B在OP段的加速度（a_A=a_B=μg）相等，根据两个物体碰后速度大小，判断滑块A、B能否再一次发生碰撞．若不能再发生碰撞，根据K的取值范围，求解滑块A克服摩擦力所做的功．

解答：解：（1）设滑块A碰B后的共同速度为v，AB碰撞过程中损失的机械能为△E
由动量守恒定律有    m_Av₀=（m_A+m_B）v                  ①
由能量守恒定律有△E=

1

2

m_Av²-

1

2

（m_A+m_B ）v²           ②
联立①②式并代入数据解得   △E=

25K

K+1

J               ③
（2）设碰撞后A、B速度分别为v_A、v_B，且设向右为正方向，由于弹性碰撞，则有：
  m_Av₀=m_Av_A+m_Bv_B                                    ④
 

1

2

m_Av₀²=

1

2

m_Av

2 A

+

1

2

m_Bv

2 B

                              ⑤
联立④⑤式并代入数据解得  

v

A

=

5(K-1)

K+1

m/s               ⑥
  

v

B

=

10K

K+1

m/s                  ⑦
假设滑块A、B都能在OP段滑动，滑块A、B在OP段的加速度（a_A=a_B=μg）相等，由⑥⑦式知在任意时刻v_B＞v_A，滑块A、B不会再一次发生碰撞．
由题知，当滑块A刚好能够到达P点有  

1

2

mA

v

2 A

=μmAgL  ⑧
代入数据解得K  ⑨
讨论：
（1）当K=1 时，v_A=0，滑块A停在O点，A克服摩擦力所做的功为W_fA=0  ⑩
（2）当1＜K≤9时，滑块A停在OP之间，A克服摩擦力所做的功为WfA=

1

2

mA

v

2 A

=25K(

K-1

K+1

)2J       （11）
（3）当K＞9时，滑块A从OP段右侧离开，A克服摩擦力所做的功为W_fA=μm_AgL=16KJ              （12）
答：
（1）若滑块A与B发生完全非弹性碰撞，A、B碰撞过程中损失的机械能为

25K

K+1

；
（2）若滑块A、B构成的系统在碰撞过程中没有机械能损失，滑块A克服摩擦力所做的功情况有：
    （1）当K=1 时，v_A=0，滑块A停在O点，A克服摩擦力所做的功为W_fA=0 
   （2）当1＜K≤9时，滑块A停在OP之间，A克服摩擦力所做的功为WfA=

1

2

mA

v

2 A

=25K(

K-1

K+1

)2J 
  （3）当K＞9时，滑块A从OP段右侧离开，A克服摩擦力所做的功为W_fA=μm_AgL=16KJ

点评：本题综合考查了动量守恒定律、动能定理、机械能守恒定律，综合性较强，对学生的能力要求较高，第3问要根据K不同的取值范围进行讨论．