Question

5．在2014年底，我国不少省市ETC联网正式启动运行，ETC是电子不停车收费系统的简称．汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示．假设汽车以正常行驶速度v₁=16m/s朝收费站沿直线行驶，如果过ETC通道，需要在距收费站中心线前d=12m处正好匀减速至v₂=4m/s，匀速通过中心线后，再匀加速至v₁正常行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过t₀=25s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v₁正常行驶．设汽车在减速和加速过程中的加速度大小分别为a₁=2m/s²，和a₂=1m/s²．求：
（1）汽车过人工收费通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；
（2）汽车过ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；
（3）汽车通过ETC通道比通过人工收费通道速度再达到v₁时节约的时间△t是多少？

Answer 1

分析 （1）根据匀变速直线运动的速度位移公式求出过人工收费通道时匀减速和匀加速直线运动的位移，从而得出从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；
（2）根据速度位移公式求出过ETC通道时匀加速和匀减速直线运动的位移，结合匀速运动的位移得出从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；
（3）抓住两次位移大小相等，结合速度时间公式分别求出通过人工收费通道和ETC通道的时间，从而得出节约的时间．

解答 解：（1）汽车过人工收费通道时，匀减速直线运动的位移${x}_{1}=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{1{6}^{2}}{2×2}m=64m$，
匀加速直线运动的位移${x}_{2}=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{1{6}^{2}}{2}m=128m$，
从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小x=x₁+x₂=64+128m=192m．
（2）汽车过ETC通道时，匀减速直线运动的位移${x}_{1}′=\frac{{{v}_{1}}^{2}-{{v}_{2}}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{1{6}^{2}-{4}^{2}}{2×2}$m=60m，
匀加速直线运动的位移${x}_{2}′=\frac{{{v}_{1}}^{2}-{{v}_{2}}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{1{6}^{2}-{4}^{2}}{2}m$=120m，
从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小x′=x₁′+x₂′+d=60+120+12m=192m．
（3）过人工通道所需的时间${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}+\frac{{v}_{1}}{{a}_{2}}+{t}_{0}=\frac{16}{2}+\frac{16}{1}+25s$=49s，
过ETC通道所需的时间${t}_{2}=\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{{a}_{1}}+\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{{a}_{2}}+\frac{d}{{v}_{2}}$s=$\frac{16-4}{2}+\frac{16-4}{1}+\frac{12}{4}s$=21s，
则节约的时间△t=t₁-t₂=49-21s=28s．
答：（1）汽车过人工收费通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小为192m；
（2）汽车过ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小为192m；
（3）汽车通过ETC通道比通过人工收费通道速度再达到v₁时节约的时间△t是28s．

点评 解决本题的关键理清汽车在两种通道下的运动规律，结合匀变速直线运动的位移公式和时间公式进行求解，难度不大．