Question

3．如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在圆心为C半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场．在原点O放置一带电微粒发射装置，它发射出具有相同质量m、电荷量q（q＞0）和初速度大小为v的带电微粒，速度方向分布在xOy平面第一和第二象限内的各个方向上．重力加速度大小为g．已知从O点沿y轴正方向竖直向上发射的带电微粒射出磁场区域后一直平行于x轴作直线运动打到PN荧光屏上，PN荧光屏垂直x轴，PN屏的长度大于2R．
（1）求电场强度和磁感应强度的大小和方向．
（2）求PN屏上光斑长度
（3）若撤除匀强磁场，且保持匀强电场的大小不变，方向改为水平向右．调节初速度v的大小，使得从O点沿与x轴正方向成45°方向发射的粒子 落到圆周上D点（图中未画出）时的速度比沿其他方向发射的粒子落到圆周上其他各点的速度都要大．求初速度v的大小？
当粒子 恰好落到圆周上D点时，是否还有其它粒子同时落到圆周上．若有，求出其它粒子在圆周上的落点到D点的距离；若没有，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据带电微粒所受重力与电场力平衡求出电场强度的大小与方向；由几何关系确定粒子做圆周运动的半径，然后根据半径公式求出磁感应强度；
（2）为使这些带电微粒经磁场偏转后沿x轴负方向运动．由图可知，它们必须从经O点作圆运动的各圆的最高点飞离磁场，结合数学知识求出符合条件的磁场区域的圆方程，最后求出PN屏上光斑长度．
（3）没有磁场时，粒子在竖直方向做匀减速运动，水平方向做匀变速运动，可以先求出合力，然后使用抛体运动的规律解答．

解答 解：（1）由题目中“从O点沿y轴正方向竖直向上发射的带电微粒射出磁场区域后一直平行于x轴作直线运动打到PN荧光屏上”可知，带电微粒所受重力与电场力平衡．设电场强度大小为E，由平衡条件得：
mg=qE
得E=$\frac{mg}{q}$
电场方向沿y轴正方向
带电微粒进入磁场后，做匀速圆周运动，由于微粒射出磁场区域后一直平行于x轴作直线运动，所以圆运动半径r=R．
设匀强磁场的磁感应强度大小为B．由牛顿第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$ 
由左手定则可知，磁场方向垂直于纸面向里
（2）设由带电微粒发射装置射入第Ⅰ象限的带电微粒的初速度方向与x轴承夹角θ，θ满足0＜θ＜π，由于带电微粒最终将沿x轴负方向运动，
故B应垂直于xoy平面向里，带电微粒在磁场内做半径为$\frac{m{v}_{0}}{qB}$匀速圆周运动．
由于带电微粒的入射方向不同，由于磁场的范围在题目的要求内，则它们所对应的运动的轨迹如图所示

所以PN屏上光斑的范围是0-2R，长度是2R．
（3）Ⅰ．若撤除匀强磁场，且保持匀强电场的大小不变，方向改为水平向右．调节初速度v的大小，使得从O点沿与x轴正方向成45°方向发射的粒子 落到圆周上D点（图中未画出）时的速度比沿其他方向发射的粒子落到圆周上其他各点的速度都要大，则D点的圆的切线的方向与重力、电场力的合力的方向垂直如图：
由于mg=qE，所以合力的方向沿CD的方向，与竖直方向之间的夹角是45°，设粒子到达D的时间为t，垂直于CD的方向：vt=r•cos45°   ①
沿CD方向：y=$r（1-cos45°）=\frac{1}{2}a{t}^{2}$    ②
粒子的加速度：$a=\frac{{F}_{合力}}{m}=\frac{\sqrt{（mg）^{2}+（qE）^{2}}}{m}=\sqrt{2}g$  ③
联立①②③得：$t=\sqrt{\frac{\sqrt{2}R}{g}（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）}$
v=$\frac{\sqrt{2}r}{v}=\sqrt{\frac{gR}{2-\sqrt{2}}}$
Ⅱ．若粒子入射的方向与垂直于CD方向的夹角是θ，如图，则则t时间内沿CD方向的位移：

$y′=v•sinθ•t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$  ④
比较②④两式可得，由于除到达D点的粒子，其他方向运动的粒子在t时间内沿CD方向的位移y′与y一定不相等，所以当粒子 恰好落到圆周上D点时，没有其它粒子同时落到圆周上．
答：（1）电场强度是$\frac{mg}{q}$，电场方向沿y轴正方向；磁感应强度的大小是$\frac{m{v}_{0}}{qR}$，磁场方向垂直于纸面向里．
（2）PN屏上光斑长度是2R．
（3）若撤除匀强磁场，且保持匀强电场的大小不变，方向改为水平向右．调节初速度v的大小，使得从O点沿与x轴正方向成45°方向发射的粒子 落到圆周上D点（图中未画出）时的速度比沿其他方向发射的粒子落到圆周上其他各点的速度都要大．初速度v的大小为$\sqrt{\frac{gR}{2-\sqrt{2}}}$；当粒子 恰好落到圆周上D点时，没有其它粒子同时落到圆周上．

点评 本题的关键与难点是由数学知识求是否还有其它粒子同时落到圆周上，平时要注重数学方法在物理中的应用，该题型常常作为压轴题出现．