Question

10．如图所示，两根等高光滑的$\frac{1}{4}$圆弧轨道，半径为r、间距为L，轨道电阻不计．在轨道顶端连有一阻值为R的电阻，整个装置处在一竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B．现有一根长度稍大于L、电阻不计的金属棒从轨道最低位置cd开始，在拉力作用下以速度v₀向右沿轨道做匀速圆周运动至ab处，则该过程中（　　）

• A． 金属棒受到的安培力大小不变
• B． 通过R的电流方向为f→e
• C． R上产生的热量为$\frac{πr{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$
• D． 流过R的电量为$\frac{πBLr}{2R}$

Answer 1

分析 由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$求解通过R的电流和安培力的大小；
根据右手定则即可判断出电流的方向；
若棒从cd开始以速度v₀向右沿轨道做匀速圆周运动，其水平方向的分运动是简谐运动，棒中将产生正弦式电流．将棒的瞬时速度v₀分解，水平方向的分速度对产生感应电动势有贡献，求出电流的有效值，即可救出棒中产生的热量；
棒下滑的过程中，其重力势能转化为棒的动能和电路中内能，根据能量守恒定律求解金属棒产生的热量．由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式q=$\overline{I}$△t求通过R的电荷量q．

解答 解：A、设棒垂直于磁场方向的分速度为v，则：v=v₀cosθ，θ为分速度与水平方向之间的夹角，产生的感应电动势为E，感应电流为I，则有：
E=BLv=BLv₀cosθ，
随水平分速度与水平方向之间的夹角的增大，电动势逐渐减小，感应电流为：$I=\frac{E}{R}$
安培力：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}cosθ}{R}$，可得安培力随水平分速度与水平方向之间的夹角的增大，逐渐减小．故A错误；
B、cd棒向右运动，由右手定则可知，感应电流的方向d→c，所以通过R的电流方向为f→e．故B正确；
C、由A的分析可知，该过程中产生的电流为余弦式电流，所以其有效值为最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则该过程中的有效值为：${E}_{有效}=\frac{\sqrt{2}}{2}•BL{v}_{0}$
设产生的焦耳热为Q，由能量守恒定律有：Q=$\frac{{E}_{有效}^{2}}{R}•\frac{\frac{1}{2}πr}{{v}_{0}}$=$\frac{πr{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$．故C正确；
D、设产生的平均感应电动势为$\bar E$，平均感应电流为$\overline I$，通过R的电荷量为q，则有：
$\overline{E}=\frac{△ϕ}{△t}$
$\overline I=\frac{\bar E}{R}$$q=\overline I•△t$
解得：$q=\frac{BrL}{R}$．故D错误．
故选：BC

点评 解决本题的关键是判断出回路中产生的是正弦式交变电流，相当于线圈在磁场中转动时单边切割磁感线，要用有效值求解热量，用平均值求解电量．