Question

8．如图所示，在xOy平面内半径为R的圆O₁与y轴相切于坐标原点O，在该圆形区域内有与y轴平行的匀强电场和垂直于圆面的匀强磁场，一个带正电的粒子从O点以一定的速度沿x轴进入场区．若场区内只存在匀强电场或匀强磁场时，该粒子恰好做匀速直线运动，穿过地区的时间为T₀；若电场、磁场都撤去，其他条件都不变，该粒子穿过场区的时间为$\frac{1}{2}$T₀．
（1）求电场强度与磁感应强度的比值．
（2）若电场、磁场都存在，其他条件都不变，求该粒子穿过场区的时间．
（3）若电场、磁场都存在，无数多个粒子以相同的速率向圆形场区平面内不同方向射出，其他条件都不变，用阴影表示出进入场区的粒子穿过场区时，在圆形场区内所能到达区域并求出其面积．（直接画图即可，不需要说明理由）

Answer 1

分析 （1）只有重力场和电场时，有qE=mg，只有重力场和磁场时，qvB=mg，即可求得E与B的比值．
（2）若电场、磁场都撤去，粒子做平抛运动，根据分位移公式列式．研究三种场同时存在时的情况，画出轨迹，由牛顿第二定律求出轨迹半径，由几何关系得到轨迹对应的圆心角，即可求得时间．
（3）画出粒子运动的轨迹，由几何知识求解即可．

解答 解：（1）设磁感应强度为B，电场强度为E，粒子速度为v，质量为m，电荷量为q．
只有重力场和电场时，有 qE=mg
只有重力场和磁场时，有qvB=mg
且vT₀=2R，得 $\frac{E}{B}$=$\frac{2R}{{T}_{0}}$
（2）电场、磁场都撤去后，粒子做平抛运动，则
  x=v$•\frac{{T}_{0}}{2}$，y=$\frac{1}{2}g（\frac{{T}_{0}}{2}）^{2}$
又粒子落在圆周上，可知 x=R，y=R
三场同时存在时，粒子做匀速圆周运动，其轨迹如图1所示，设在场区中运动轨迹的圆心角为2α
由牛顿第二定律得 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得 r=$\frac{R}{2}$
由几何关系有 tanα=$\frac{R}{r}$=2
粒子在场区中运动的时间为 t=$\frac{2α}{2π}$T，T=$\frac{2πr}{v}$
解得粒子穿过场区的时间 t=$\frac{{T}_{0}}{2}$arctan2
（3）如图2所示，粒子进入场区后做半径为 r=$\frac{R}{2}$的匀速圆周运动，当粒子沿y轴负方向进入场区时，其运动轨迹为圆C，以原点O为圆心，R为半径做圆，交圆形场区于D点（第一象限内），则曲线OEO₁DO所围图形的面积即为面积S．
根据几何知识可得 S=$\frac{1}{2}π（\frac{R}{2}）^{2}$+2×$\frac{1}{6}π{R}^{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$=（$\frac{11}{24}$π-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）R²．
答：（1）电场强度与磁感应强度的比值为$\frac{2R}{{T}_{0}}$．
（2）若电场、磁场都存在，其他条件都不变，该粒子穿过场区的时间为$\frac{{T}_{0}}{2}$arctan2．
（3）进入场区的粒子穿过场区时，在圆形场区内所能到达区域为OEO₁DO，如图，面积为（$\frac{11}{24}$π-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）R²．

点评 本题考查带电粒子在电场、磁场中两运动模型：匀速圆周运动与类平抛运动，及相关的综合分析能力，以及空间想像的能力，应用数学知识解决物理问题的能力．