Question

（2013?广州三模）一绝缘“?”形杆由两段相互平行的足够长的水平直杆PQ、MN和一半径为R的光滑半圆环MAP组成，固定在竖直平面内，其中MN杆是光滑的，PQ杆是粗糙的，整个装置处在水平向左的匀强电场中．在PM左侧区域足够大的范围内同时存在垂直竖直平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．现将一质量为m、带正电电量为q的小环套在MN杆上，小环所受的电场力为重力的

1

2

．（已知重力加速度为g）
（1）若将小环由D点静止释放，则刚好能到达P点，求DM间的距离
（2）在满足第一问的情况下，小环在A点对圆环的压力
（3）若将小环由M点右侧5R处静止释放，设小环与PQ杆间的动摩擦因数为μ，小环所受最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，求小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：（1）小环从D至P过程中，根据动能定理结合电场力与重力关系，即可求解；
（2）小环从D至A的过程，根据动能定理；对小环在A点受力分析由牛顿第二定律及牛顿第三定律即可求解；
（3）根据速度为零分电场力小于等于最大静摩擦力与大于最大静摩擦力，由动能定理分别求出过程中克服摩擦力所做的功．

解答：解：（1）设电场强度为E，DM距离为L，对小环从D至P，由动能定理：
EqL-mg?2R=0-0       ①
题意有Eq=

1

2

mg          ②
结合得  L=4R                  ③
（2）设小环在A点速度为v_A，对小环从D至A的过程，由动能定理：
Eq?5R-mgR=

1

2

m

v

2 A

-0      ④
由小环在A点的受力分析及牛顿第二定律得：N-Eq-BqvA=

m v 2 A

R

 ⑤
由④⑤式可得N=

7

2

mg+Bq

3gR

，⑥
根据牛顿第三定律，小环在A点对圆环的压力大小为N=

7

2

mg+Bq

3gR

，方向水平向左．
（3）小环首次到P点速度不为零，将向右运动，当速度为零时，若满足
（i）Eq≤f_m=μmg，即μ≥

1

2

，小环将保持静止．设此时小环距P点水平距离为x，
则对全程由动能定理：
Eq（5R-x）-mg?2R-μmgx=0-0   ⑦
则克服摩擦力做功Wf=μmgx=

μmgR

1+2μ

  ⑧
（ii） Eq＞f_m=μmg，即μ＜

1

2

，小环将来回往复运动，最终会在P点的速度减为零．
则对全程由动能定理：Eq?5R-mg?2R-W_f=0-0  ⑨
得克服摩擦力做功Wf=

1

2

mgR  
答：（1）若将小环由D点静止释放，则刚好能到达P点，求DM间的距离为4R；
（2）在满足第一问的情况下，小环在A点对圆环的压力大小为

7

2

mg+Bq

3gR

，方向水平向左；
（3）若将小环由M点右侧5R处静止释放，当电场力小于等于最大静摩擦力时，小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功为

μmgR

1+2μ

；当电场力大于最大静摩擦力时，小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功为

1

2

mgR．

点评：本题考查动能定理、牛顿第二定律、牛顿第三定律，及向心力表达式．强调动能定理选取过程的重要性与做功的正负值．最后还注意克服摩擦力做功的分类性．