Question

用一沿斜面向上的恒力F将静止在斜面底端的物体向上推，推到斜面中点时，撤去F，物体正好运动到斜面顶端开始返回，物体从底端到顶端所需时间为t，从顶端滑到底端所需时间也为t，若物体回到底端时速度为10m/s，试问：
（1）推力F与物体所受斜面摩擦力f之比为多少？
（2）斜面顶端和底端的高度差h为多少？

Answer 1

分析：（1）用平均速度表示出上滑过程位移与下滑过程的位移，得出物体上滑到斜面中点时的速度．根据动能定理分别对上滑的全过程、上滑前一半过程和下滑全过程研究，列出方程，分别求出推力F、摩擦力f与重力的关系式，再求两者之比．
（2）根据摩擦力f与重力的关系式，代入下滑过程动能定理的表达式，求解高度差．

解答：解：设斜面长为S，物体上滑到斜面中点时速度为v₁，斜面的倾角为θ．
（1）由题得到：上滑过程S=

v1t

2

，下滑过程：S=

v2t

2

，得到v₁=v₂=10m/s．
根据动能定理得：
   对于上滑全过程：F?S-mgsinθ?2S-f?2s=0，得到  F=2mgsinθ+2f  ①
   对于上滑前半一过程：（F-mgsinθ-f）?

S

2

=

1

2

m

v

2 1

               ②
   对于下滑过程：（mgsinθ-f）S=

1

2

m

v

2 2

                         ③
由①②③联解得
     F=

8

3

mgsinθ，f=

1

3

mgsinθ
所以F：f=8：1．
（2）将f=

1

3

mgsinθ代入③得
   

2

3

mgsinθS=

1

2

m

v

2 2

斜面顶端和底端的高度差h=Ssinθ=

3 v 2 2

4g

=7.5m．
答：（1）推力F与物体所受斜面摩擦力f之比为8：1；
    （2）斜面顶端和底端的高度差h为7.5m．

点评：本题应用动能定理和运动学公式处理较为复杂的动力学问题，关键存在运用平均速度公式研究上滑过程物体在中点的速度．