Question

11．一质量为m=0.5kg的小物体从足够高的光滑曲面上自由滑下，然后滑上一水平传送带．已知物体与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.2，传送带水平部分的长度L=5m，两端的传动轮半径为R=0.2m，在电动机的带动下始终以ω=15rad/s的角速度沿顺时针匀速转运，传送带下表面离地面的高度h不变．如果物体开始沿曲面下滑时距传送带表面的高度为H，初速度为零，g取10m/s²．求；
（1）当H=0.2m时，物体通过传送带过程中，电动机多消耗的电能．
（2）当H=1.25时，物体通过传送带后，在传送带上留下的划痕的长度．
（3）H在什么范围内时，物体离开传送带后的落地点在同一位置．

Answer 1

分析 （1）物体m从顶部滑到底端过程，机械能守恒，根据守恒定律列式求出物体滑上传送带时的速度；传送带匀速运动的速度v=Rω，根据牛顿第二定律得到物体在传送带上滑动的加速度大小，由运动学公式求得相对滑动的时间，从而得到物体对地和对传送带的相对位移，再根据功能关系求解．
（2）物体通过在传送带上留下的划痕的长度等于两者相对位移的大小，采用与上题相同的思路解答．
（3）当物体在传送带上减速至v时，离开传送带后的落地点在同一位置，由运动学公式和机械能守恒结合求解．

解答 解：（1）传送带匀速运动的速度 v=Rω=0.2×15=3m/s
物块与传送带间有相对运动时的加速度大小 a=$\frac{f}{m}$=2m/s²；
当H=0.2m时，物体沿曲面下滑的过程中机械能守恒，则
  mgH₁=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
得 v₁=$\sqrt{2g{H}_{1}}$=2m/s
 相对滑动时间 t₁=$\frac{v-{v}_{1}}{a}$=$\frac{3-2}{2}$s=0.5s
 物块对地位移 s₁=v₁t₁+$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=2.5m
传送带前进的位移 s₂=vt₁=1.5m
所以上述过程中电动机多消耗的电能 W=Q+△E_k=μmg（s₂-ss₁）+$\frac{1}{2}m（{v}^{2}-{v}_{1}^{2}）$=1.5J
（2）当H₂=1.25时，物块滑上传送带的速度为 v₂．
由mgH₂=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$，得 v₂=$\sqrt{2g{H}_{2}}$=5m/s＞v
则物块减速时间 t₂=$\frac{{v}_{2}-v}{a}$=1s
物块前进距离  s₁′=v₂t₂-$\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$=4m＜L
t₂时间内传送带前进 s₂′=vt₂=3m
故划痕的长度△s=s₁′-s₂′=1m
（3）设物体滑上传送带的初速度为v₃时，减速至右端的速度刚好为v，则 v²-${v}_{3}^{2}$=2aL
得 ${v}_{3}^{2}$=29（m/s）²；
又 mgH₃=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
H₃=1.45m
则当H≤1.45m时，物体离开传送带后的落地点在同一位置．
答：
（1）当H=0.2m时，物体通过传送带过程中，电动机多消耗的电能是1.5J．
（2）当H=1.25时，物体通过传送带后，在传送带上留下的划痕的长度为1m．
（3）当H≤1.45m时，物体离开传送带后的落地点在同一位置．

点评 要注意分析产生的热量即为摩擦力与相对位移间的乘积，再由能量守恒即可求得总能量，要注意分析能量间的相互转化．