Question

12．如图所示，相距为d、板间电压为U₀的平行金属板间有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B₀的匀强磁场：Op和x轴的夹角α=45⁰，在POy区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，Pox区域内有沿着x轴正方向的匀强电场，场强大小为E：一质量为m、电荷量为q的正离子沿平行与金属板、垂直磁场方向射入板间并做匀速直线运动，从坐标为（0，L）的a点垂直y轴进入磁场区域，从OP上某点沿y轴负方向离开磁场进入电场，不计离子的重力，求：
（1）离子在平行金属板间的运动速度v₀；
（2）Poy区域内匀强磁场的磁感应强度B；
（3）离子打在x轴上对应点的坐标．

Answer 1

分析 （1）离子在平行金属板间做匀速直线运动，由平衡条件可以求出离子的速度．
（2）离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由几何知识求出粒子轨道半径，然后由牛顿第二定律求出磁感应强度．
（3）离子在电场中做类平抛运动，竖直方向作匀速直线运动，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，应用类平抛运动规律可以求出离子打在x轴上的坐标位置．

解答 解：（1）离子在平行金属板间做匀速直线运动，
处于平衡状态，由平衡条件得：qv₀B₀=q$\frac{{U}_{0}}{d}$，
解得：${v_0}=\frac{U_0}{{{B_0}d}}$；
（2）离子运动轨迹如图所示：

由几何知识可得：r+rtan45°=L，解得：r=$\frac{L}{2}$m，
离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：$q{v_0}B=mv\frac{v_0^2}{r}$，解得：B=$\frac{2m{U}_{0}}{{B}_{0}qdL}$；
（3）离子进入电场后做类平抛运动，
竖直方向：L-r=v₀t，
水平方向：x′=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}$t²，
粒子打在x轴上对应点的横坐标：x=x′+r
解得：x=x′+r=$\frac{L}{2}+\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}{d}^{2}Eq}{8m{U}_{0}^{2}}$；
答：（1）离子在平行金属板间的运动速度V₀为$\frac{{U}_{0}}{{B}_{0}d}$；
（2）poy区域内匀强磁场的磁感应强度B为$\frac{2m{U}_{0}}{{B}_{0}qdL}$；
（3）离子打在x轴上对应点的坐标为（$\frac{L}{2}+\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}{d}^{2}Eq}{8m{U}_{0}^{2}}$，0）．

点评 本题中离子在复合场中运动的问题是速度选择器的模型，要理解其工作原理．在磁场中画轨迹，由几何知识求解半径、由圆心角确定时间都是常规思路．