Question

11．如图所示的平面直角坐标系中存在有界的场区，y轴左侧有沿x轴正向的匀强电场E=1×10⁵N/C，第一象限内有沿y轴负向大小也为E=1×10⁵N/C的匀强电场，第四象限-L＜y＜0的区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场B=1T．今在A（-a，a）点将一个质量为m=8×10^-25kg（重力不计），电量为q=+1.6×10^-19C的点电荷由静止释放，已知a=1m．求：
（1）欲使电荷能返回到第一象限，求所加磁场的宽度L和电荷在第一象限内沿y轴方向上的最远距离；
（2）求电荷沿x轴正方向运动的周期和第一个周期内的平均速度；
（3）若将磁场的方向换为垂直纸面向外，让磁感应强度的大小减半，仍能使电荷周期性运动，求所加磁场的区域的范围．

Answer 1

分析 （1）点电荷在电场作用下沿x轴正方向做匀加速直线运动，垂直y轴进而入第一象限，在第一象限中在电场E的作用下做类平抛运动，进入磁场后做匀速圆周运动，画出点电荷运动的轨迹，根据动能定理结合向心力公式结合几何关系求解；
（2）根据粒子运动轨迹可知，一个周期的时间为类平抛运动的时间、在磁场中做匀速运动的时间以及斜上抛运动到最高点的时间，根据平抛运动的基本公式以及圆周运动的周期公式求解，平均速度等于位移除以时间；
（3）若将磁场的方向换为垂直纸面向外，磁感应强度的大小减半，画出粒子运动的轨迹，根据半径公式结合几何关系求解．

解答 解：（1）点电荷在电场作用下沿x轴正方向做匀加速直线运动，垂直y轴进而入第一象限，在第一象限中在电场E的作用下做类平抛运动，设进入第一象限时的速度为v₀，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=Eaq$
代入数据解得：${v}_{0}=2×1{0}^{5}m/s$，
进入第一象限后，在E的作用下做类平抛运动，沿x轴方向以速度v₀做匀速直线运动，沿y轴负方向做匀加速直线运动，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}=Eaq$
代入数据解得：${v}_{y}=2×1{0}^{5}m/s$，
则点电荷以与x轴成45°进入磁场，速度为：v=$\sqrt{2}{v}_{0}=2\sqrt{2}×1{0}^{5}m/s$，
进入磁场后做匀速圆周运动，则离开磁场进入第一象限时的速度方向与x轴正方向成45°，
进入电场后做斜上抛运动，沿y轴正方向和x轴正方向运动的速度都没有变化，则沿y轴方向上的最远距离仍为a，运动轨迹如图所示：

根据洛伦兹力提供向心力得：$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：r=$\frac{mv}{Bq}=\sqrt{2}m$
根据几何关系得，L=r-$\frac{\sqrt{2}}{2}r$=$（\sqrt{2}-1）m$，
所加磁场的宽度L$≥（\sqrt{2}-1）m$，
（2）点电荷在第一象限做类平抛运动的时间为：${t}_{1}=\frac{a}{\frac{{v}_{y}}{2}}=1×1{0}^{-5}s$，
在磁场中做圆周运动的时间为：${t}_{2}=\frac{90°}{360°}T′=\frac{1}{4}×\frac{2πm}{Bq}=2.5π×1{0}^{-6}s=0.785×1{0}^{-5}s$，
则电荷沿x轴正方向运动的周期为：T=${2t}_{1}+{t}_{2}=2.785×1{0}^{-5}s$，
一个周期内点电荷在x正方向运动的位移为：x=$2{v}_{0}{t}_{1}+\sqrt{{r}^{2}+{r}^{2}}$=6m，
则一个周期内的平均速度为：$\overline{v}=\frac{x}{T}=\frac{6}{2.785×1{0}^{-5}}=2.15×1{0}^{5}m/s$，
（3）若将磁场的方向换为垂直纸面向外，磁感应强度的大小减半，粒子的运动轨迹如图所示：

半径为：r′=$\frac{mv}{B′q}=\frac{8×1{0}^{-25}×2\sqrt{2}×1{0}^{5}}{0.5×1.6×1{0}^{-19}}$=$2\sqrt{2}m$，
根据几何关系可知，所加磁场的宽度为：L$′=r′+r′sin45°=（2\sqrt{2}+2）m$，
所以所加磁场的区域的范围为$L′≥（2\sqrt{2}+2）m$．
答：（1）所加磁场的宽度L的范围为$L≥（\sqrt{2}-1）m$，电荷在第一象限内沿y轴方向上的最远距离为a；
（2）电荷沿x轴正方向运动的周期为2.785×10^-5s，第一个周期内的平均速度为2.15×10⁵m/s；
（3）若将磁场的方向换为垂直纸面向外，让磁感应强度的大小减半，仍能使电荷周期性运动，所加磁场的区域的范围为$L′≥（2\sqrt{2}+2）m$．

点评 本题是带电粒子在复合场中运动问题，在磁场中做匀速圆周运动，在电场中加速做匀加速直线运动，在电场中偏转做类平抛运动，关键画出运动轨迹，然后分段运用牛顿第二定律、向心力公式、类似平抛运动的分位移公式列式求解．