Question

8．折射率$n=\sqrt{2}$的透明玻璃球，如图所示有一束a光线射向球面．
（i）证明：光束a经球面折射射入球内的光线，不可能在球内发生全反射；
（ii）当入射光线a的入射角i=45°时，求从球内射出的最强光线与入射a光线的夹角α；
（iii）当入射光线a的入射角i=45°时，求从球内射出的光线共有几束？作出光路图并说明理由．

Answer 1

分析 （i）经过两次折射后从玻璃球射出的光线遵循折射定律，由折射定律分别列式，由几何关系知道第一次折射角与第二次入射角相等，对照全反射条件：光从光密介质进入光疏介质，入射角大于等于临界角，进行证明．
（ii）当入射光线a的入射角i=45°时，根据折射定律和几何知识结合求解从球内射出的最强光线与入射a光线的夹角α．
（iii）当入射角i=45°时，射入球内的光线到a点后，部分光线射出，部分光线反射到b点，然后继续部分折射和部分反射到c点，在球内不断反射的光线其入射角均为30°，故在球内第二次反射的光其入射点与进入玻璃球的光线的入射点重合于c点，从球内射出的光线只有3束．

解答 解：（i）证明：光路图1所示

经过两次折射后从玻璃球射出的光线遵循折射定律，有：$\frac{sin{i}_{1}}{sin{r}_{1}}$=n，$\frac{sin{i}_{2}}{sin{r}_{2}}$=$\frac{1}{n}$
由几何关系可知，r₁=i₂，所以r₂=i₁ 
只要光线能入射进玻璃球，即i₁＜90°，所以r₂=i₁＜90°
即i₂＜临界角，光线在球内不可能发生全反射．
另证：根据光的折射定律：sini₁=nsinr₁ 
由圆的几何知识得，该光线出射的入射角 i₂=r₁
设：光线在界面处发生全反射的临界角为C，
根据光的折射定律：nsinC=sin90°
综上所述，光线的入射角i₂＜C，即不会发生全反射  
（ii）当入射角i=45°时，由$\frac{sin{i}_{1}}{sin{r}_{1}}$=n   得 r₁=30°
由$\frac{sin{i}_{2}}{sin{r}_{2}}$=$\frac{1}{n}$   得 r₂=45°
偏向角 α=（i₁-r₁ ）+（r₂-i₂）=15°+15°=30°
（iii）当入射角i=45°时，射入球内的光线到a点后，部分光线射出，部分光线反射到b点，然后继续部分折射和部分反射到c点，在球内不断反射的光线其入射角均为30°，故在球内第二次反射的光其入射点与进入玻璃球的光线的入射点重合于c点，所以，从球内射出的光线只有3束．如图2所示．
答：（i）证明见上．
（ii）从球内射出的最强光线与入射a光线的夹角α是30°；
（iii）从球内射出的光线共有3束．

点评 本题考查全反射条件和折射定律的应用，对于几何光学问题，准确作出光路图，结合几何知识进行分析和求解是解题的关键．