Question

25.(20分) 如图所示，轻弹簧一端连于固定点O，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小球P,其质量m=2×10^-2 kg,电荷量q=0.2 C.将弹簧拉至水平后，以初速度v₀=20 m/s竖直向下射出小球P,小球P到达O点的正下方O₁点时速度恰好水平，其大小v=15 m/s.若O、O₁相距R=1.5 m,小球P在O₁点与另一由细绳悬挂的、不带电的、质量M=1.6×10^-1 kg的静止绝缘小球N相碰。碰后瞬间，小球P脱离弹簧，小球N脱离细绳，同时在空间加上竖直向上的匀强电场E和垂直于纸面的磁感应强度B=1T的弱强磁场。此后，小球P在竖直平面内做半径r=0.5 m的圆周运动。小球P、N均可视为质点，小球P的电荷量保持不变，不计空气阻力，取g=10 m/s²。那么，

（1）弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为多少？

（2）请通过计算并比较相关物理量，判断小球P、N碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度。

(3)若题中各量为变量，在保证小球P、N碰撞后某一时刻具有相同速度的前提下，请推导出r的表达式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ为小球N的运动速度与水平方向的夹角)。

Answer 1

25.（20分）

解：（1）设弹簧的弹力做功为W，有：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

代入数据，得：W＝J　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

说明：①②式各2分。

（2）由题给条件知，N碰后作平抛运动，P所受电场力和重力平衡，P带正电荷。设P、N碰后的速度大小分别为v₁和V，并令水平向右为正方向，有: ③

而： 　　　　　　　　　　　　　　　　④

若P、N碰后速度同向时，计算可得V<v1，这种碰撞不能实现。P、N碰后瞬时必为反向运动。有： ⑤

P、N速度相同时，N经过的时间为，P经过的时间为。设此时N的速度V1的方向与水平方向的夹角为，有： 　　　　　　　⑥

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑦

代入数据，得： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑧

对小球P，其圆周运动的周期为T，有：　　　　　　　　　　　　　　⑨

经计算得：  

P经过时，对应的圆心角为，有： 　　　　　　　　　　　　　⑩

当B的方向垂直纸面朝外时，P、N的速度相同，如图可知，有：

联立相关方程得：

比较得， ，在此情况下，P、N的速度在同一时刻不可能相同。

当B的方向垂直纸面朝里时，P、N的速度相同，同样由图，有：

同上得：

比较得， ，在此情况下，P、N的速度在同一时刻也不可能相同。

说明：式各1分。

（3）当B的方向垂直纸面朝外时，设在t时刻P、N的速度相同， ，

再联立④⑦⑨⑩解得：

当B的方向垂直纸面朝里时，设在t时刻P、N的速度相同，

同理得：

考虑圆周运动的周期性，有:

（给定的B、q、r、m、等物理量决定n的取值）