Question

12．如图所示，半径为R、内径光滑的半圆形槽的质量为M，置于光滑的水平面上，质量为m的小球自槽口A点由静止滑下．小球开始下滑时，第一次在槽的左侧用一木桩抵住，则小球第一次通过最低点后相对最低点上升的最大高度为h₁，第二次在槽的右侧用一木桩抵住，则小球第一次通过最低点后相对最低点上升的最大高度为h₂，求$\frac{{h}_{1}}{{h}_{2}}$．

Answer 1

分析 分别对两种情况下档板的作用进行分析，由动量守恒定律及机械能守恒定律可求得最大高度，从而求得最大值；则可求得比值．

解答 解：第一次的情况：
m在下滑过程中，系统动量不守恒，但机械能守恒，M没动，则m的机械能不变，设m在最低点速度大小为v，则有
mgR=$\frac{1}{2}$mv²
在m沿M内沿上滑过程中，系统机械能守恒，动量守恒．设达到最高点时二者共同速度为V．
mv=（m+M）V
$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$（m+M）V²+mgh₁
以上三等式联立，可解得h₁=$\frac{MR}{M+m}$
第二次的情况：
当m下滑时，M会向左运动，挡板无作用，到达最低点再向右滑动，一直到右侧最高点，考虑到系统水平方向没受外力，
则质心水平位置不变，M都是在原位置左侧的．所以系统在全过程机械能守恒，水平方向动量守恒，m到达右侧最高点时h₂=R
所以$\frac{{h}_{1}}{{h}_{2}}$=$\frac{M}{M+m}$

点评 本题考查动量守恒定律及机械能守恒的综合应用，要注意正确进行过程分析，明确动量守恒的应用．