Question

14．中国准备在2020年发射火星探测器，并同时实现“绕”“落”和“巡”．已知火星的直径约是地球直径的一半，质量约为地球质量的10%，由此可知：
（1）“落”：探测器落到火星表面时，受到的引力为在地球表面时的多少倍？
（2）“绕”：物体紧贴星球表面绕行时的速度为第一宇宙速度．火星的第一宇宙速度为地球第一宇宙速度的多少倍？

Answer 1

分析 （1）根据火星与地球的半径和质量关系求得引力的倍数关系；
（2）星球的第一宇宙速度为绕星球表面圆周运动的线速度，根据火星与地球半径和质量关系求得宇宙速度的倍数关系．

解答 解：由题意知$\frac{{R}_{火}}{{R}_{地}}=\frac{1}{2}$，$\frac{{M}_{火}}{{M}_{地}}=\frac{1}{10}$
（1）在火星表面探测器受到的引力${F}_{火}=\frac{G{M}_{火}}{{R}_{火}^{2}}$，地球表面探测器受到的引力$；{F}_{地}=\frac{G{M}_{地}m}{{R}_{地}^{2}}$${F}_{地}=\frac{G{M}_{地}m}{{R}_{地}^{2}}$
所以$\frac{{F}_{火}}{{F}_{地}}=\frac{{M}_{火}}{{M}_{地}}•（\frac{{R}_{地}}{{R}_{火}}）^{2}$=$\frac{1}{10}×（\frac{2}{1}）^{2}$=0.4
即探测器在火星受到引力是地球受到引力的0.4倍；
（2）据万有引力提供圆周运动向心力有$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$可得地球表面的第一宇宙速度${v}_{地}=\sqrt{\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}}}$，同理可得火星表面的第一宇宙速度${v}_{火}=\sqrt{\frac{G{M}_{火}}{{R}_{火}}}$
所以可得：$\frac{{v}_{火}}{{v}_{地}}=\frac{\sqrt{\frac{G{M}_{火}}{{R}_{火}}}}{\sqrt{\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}}}}=\sqrt{\frac{{M}_{火}}{{M}_{地}}}•\sqrt{\frac{{R}_{地}}{{R}_{火}}}$=$\sqrt{\frac{1}{10}}×\sqrt{\frac{2}{1}}$=$\sqrt{\frac{1}{5}}$
即火星第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\sqrt{\frac{1}{5}}倍$
答：（1）“落”：探测器落到火星表面时，受到的引力为在地球表面时的0.4倍；
（2）“绕”：物体紧贴星球表面绕行时的速度为第一宇宙速度．火星的第一宇宙速度为地球第一宇宙速度的$\sqrt{\frac{1}{5}}倍$．

点评 掌握万有引力定律的表达式，知道第一宇宙速度是围绕星球表面圆周运动的速度，能根据万有引力提供向心力求得第一宇宙速度的表达式是正确解题的关键．