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    精英家教网 > 高中物理 > 题目详情
    如图所示，在x轴上方平面内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．坐标原点O处有一离子源，可以在平行于纸面内向x轴上方（包括x轴）沿各个方向发射速率在0到υm之间、质量为m、电量为q的负离子．不计离子的重力和离子之间的相互作用力，试分析：
    （1）若在t=0时刻发射的各种速率的离子仅沿+x方向，写出经过t=
    πn
    2qB
    时这些离子所在位置的坐标y与x的关系式和范围．
    （2）若在x轴的上方距离x轴d=
    8mmv
    5qB
    处放一足够长的屏，屏与x轴平行，离子以最大速度υm向x轴上方各个方向发射，求这些离子打在屏上的范围．
    （3）若从t=0时刻开始向x轴上方各个方向发射各种速率的离子，求从t=0到t=
    πn
    2qB
    时间内所有离子可能到达过的位置所组成区域的最大面积．
    分析：（1）离子进入磁场中做圆周运动，根据牛顿第二定律求出半径，由t=
    πn
    2qB
    ，求出离子转过的角度，根据几何知识求出些离子打在屏上的范围．
    （2）运用几何知识作出从t=0到t=
    πn
    2qB
    时间内所有离子可能到达过的位置，再求出组成区域的最大面积．
    解答：解：（1）离子进入磁场中做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得：
    　　qvB=m
    v2
    R

    解得最大半径Rm=
    mv
    qB

    离子在磁场中运动的周期为T，则
    T=
    2πR
    v
    =
    2πm
    qB

    因为t=
    1
    4
    T    ，所以t时刻这些离子刚好转过90°角，设某一离子在此时刻的坐标为（x，y），则有
    y=x，且0≤x≤
    mv
    qB

    （2）离子以最大速度υm向x轴正方向发射时，将到达屏的最右端．  
    L1=
    R
    2
    m
    -(d-Rm)2
    =
    4mv
    5qB

    离子与屏刚好相切时，将到达屏的最左端．
    L2=
    R
    2
    m
    -(d-Rm)2
    =
    4mv
    5qB

    离子打在屏上的范围为-
    4mv
    5qB
    ≤x≤
    4mv
    5qB

    （3）将第（1）问中图中的OA段从沿-x轴方向顺时针方向旋转135°，在y轴上找一点C，以Rm为半径作圆弧，相交于O，则两圆弧及x轴所围成的面积即为所求的解，画出示意图如图．
    由几何关系可求得此面积为
    S=
    3
    8
    π?2
    R
    2
    m
    +
    1
    4
    π
    R
    2
    m
    -
    1
    2
    R2    =(π-
    1
    2
    )
    R
    2
    m

    则：S=(π-
    1
    2
    )(
    mv
    qB
    )2
    答：
    （1）这些离子所在位置的坐标y与x的关系式y=x，且0≤x≤
    mv
    qB
    ．
    （2）这些离子打在屏上的范围为-
    4mv
    5qB
    ≤x≤
    4mv
    5qB
    ．
    （3）所有离子可能到达过的位置所组成区域的最大面积S=(π-
    1
    2
    )(
    mv
    qB
    )2    ．
    点评：此题考查运用几何知识研究带电粒子在磁场中圆周运动问题的能力，要加强训练，培养运用几何知识画轨迹的基本功．
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