Question

14．月球半径约为地球半径的$\frac{1}{4}$，月球的质量约为地球质量的$\frac{1}{96}$，地球表面的重力加速度取10m/s²，第一宇宙速度为7.9km/s，则：
（1）月球表面的重力加速度大约是多少m/s²；
（2）在月球上要发射一颗环月卫星，则最小发射率速度为多少m/s；
（3）美国的“阿波罗Ⅱ号”宇宙飞船登月成功时，宇航员借助一计时表测出近月飞船绕月球一周时间T，则可得到月球的平均密度的表达式为？（用字母表示）

Answer 1

分析 先根据重力提供向心力推导出星球表面重力加速度的表达式，可求出月球表面重力加速度与地球表面重力加速度的比值，从而求出月球表面重力加速度；
研究飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动，重力提供向心力列出等式求解．
先推导出月球质量的表达式，密度等于质量除以体积即可求解．

解答 解：
（1）由万有引力公式$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，得g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
   则：$\frac{{g}_{月}}{g}$=$\frac{{M}_{月}{{R}_{地}}^{2}}{{M}_{地}{{R}_{月}}^{2}}$=$\frac{1}{96}×16=6$
   所以${g}_{月}=\frac{1}{6}g=1.7m/{s}^{2}$
（2）由mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$，得v=$\sqrt{gR}$
   $\frac{{v}_{月}}{{v}_{地}}=\sqrt{\frac{{R}_{月}{g}_{月}}{{R}_{地}g}}=\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{1}{6}}=\frac{1}{5}$
   解得：v_月=1.6km/s
（3）由$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}R$
   则M=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$
   可得 $ρ=\frac{3π}{G{T}^{2}}$
答：（1）月球表面的重力加速度大约是1.7m/s²
（2）在月球上要发射一颗环月卫星，则最小发射率速度是1.6km/s．
（3）美国的“阿波罗Ⅱ号”宇宙飞船登月成功时，宇航员借助一计时表测出近月飞船绕月球一周时间T，可得到月球的平均密度，平均密度的表达式为$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．

点评 利用比值求解物理量是一种比较简洁的方法，求物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．