Question

如图，光滑斜面的倾角α=30°，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长l₁=l m，bc边的边长l₂=0.6m，线框的质量m=1kg，电阻R=0.1Ω，线框通过细线与重物相连，重物质量M=2kg，斜面上ef线（ef∥gh）的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T，如果线框从静止开始运动，进入磁场最初一段时间是匀速的，ef线和gh的距离s=11.4m，（取g=10.4m/s²），求：
（1）线框进入磁场前重物M的加速度；
（2）线框进入磁场时匀速运动的速度v；
（3）ab边由静止开始到运动到gh线处所用的时间t；
（4）ab边运动到gh线处的速度大小和在线框由静止开始到运动到gh线的整个过程中产生的焦耳热．

Answer 1

分析：（1）线框进入磁场前，对线框和重物整体，根据牛顿第二定律求解加速度．
（2）线框进入磁场的过程做匀速运动，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律推导出安培力表达式，再根据平衡条件列式，即可求出匀速运动的速度v；
（3）线框abcd进入磁场前时，做匀加速直线运动；进磁场的过程中，做匀速直线运动；进入磁场后到运动到gh线，仍做匀加速直线运动．根据运动学公式可确定运动的时间；
（4）由运动学公式求出ab边运动到gh线处的速度．M的重力势能减小转化为m的重力势能和线框中的内能，根据能量守恒定律求解焦耳热．

解答：解：（1）线框进入磁场前，线框仅受到细线的拉力F_T，斜面的支持力和线框重力，重物M受到重力和拉力F_T．
对线框，由牛顿第二定律得   F_T-mg sinα=ma      
联立解得，线框进入磁场前重物M的加速度  a=

Mg-mgsinα

M+m

=5m/s²
（2）因为线框进入磁场的最初一段时间做匀速运动，所以重物受力平衡  Mg=F_T′，
线框abcd受力平衡  F_T′=mg sinα+F_A
ab边进入磁场切割磁感线，产生的电动势 E=Bl₁v    
形成的感应电流 I=

E

R

=

Bl1v

R

受到的安培力 F_A=BIL₁
联立上述各式得，Mg=mg sinα+

B2 l 2 1 v

R

代入数据解得  v=6m/s
（3）线框abcd进入磁场前时，做匀加速直线运动；进磁场的过程中，做匀速直线运动；进入磁场后到运动到gh线，仍做匀加速直线运动．
进磁场前线框的加速度大小与重物的加速度相同，为a=5 m/s²
该阶段运动时间为  t₁=

v

a

=

6

5

s=1.2s
进磁场过程中匀速运动时间  t₂=

l2

v

=

0.6

6

s=0.1s
线框完全进入磁场后线框受力情况同进入磁场前，所以该阶段的加速度仍为a=5m/s²
   s-l₂=vt₃+

1

2

at

2 3

解得：t₃=1.2 s
因此ab边由静止开始运动到gh线所用的时间为 t=t₁+t₂+t₃=2.5s  
（4）线框ab边运动到gh处的速度  v′=v+at₃=6 m/s+5×1.2 m/s=12m/s  
整个运动过程产生的焦耳热  Q=F_Al₂=（Mg-mgsinθ）l₂=9J  
答：
（1）线框进入磁场前重物M的加速度是5m/s²；
（2）线框进入磁场时匀速运动的速度v是6m/s；
（3）ab边由静止开始到运动到gh线处所用的时间是2.5s；
（4）ab边运动到gh线处的速度大小和在线框由静止开始到运动到gh线的整个过程中产生的焦耳热是9J．

点评：本题是电磁感应与力平衡的综合，安培力的计算是关键．本题中运用的是整体法求解加速度．