Question

【题目】在空间中几个点依次放置几个点电荷，，，，…，，对于点，其余个点电荷在这一点上的电势和为，若在这个点上换上另个点电荷，，，…，，同理定义

（1）证明：

（2）利用（1）中结论，证明真空中一对导体电容器的电容值与这两个导体的带电量无关．（这对导体带等量异号电荷）

（3）利用（1）中的结论，求解如下问题：如图所示，正四面体各面均为导体，但又彼此绝缘．已知带电后四个面的静电势分别为、、和，求四面体中心点的电势

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）设点对点所产生的电势为，同理易知点对点产生电势为，而对于此二点系统，我们有，即

所以，，易知为只与位置有关的参量．

又（令）

则（只与位置有关）

所以，

所以原式（格林互易定理）成立

（2）分别设两导体前后所带静电分别为，，其对应的电容分别为、

则由（1）知，（其中，为带时两导体电势）

同样（其中，为带时两导体电势）

由（1）知二者相等，则

所以，

即与导体带电量多少无关．

（3）由题意，设四个面与中心的电荷量分别为、、、、0

同时，四个面与中心的电势分别为、、、、．

现将外面四个面接地，中心放一个电量为的点电荷，中心电势为，而四个面产生的感应电荷都相等，为，则此时四个面与中心的电荷和电势分别为

、、、、；0、0、0、0、

由格林互易定理可得

即可得