Question

20．如图所示，置于空气中的等腰直角三棱镜，横截面中ABC的斜面BC长4l，BD段长l，棱镜材料折射率为n．
（1）如图中实线所示，从D点垂直入射到BC边的细光束在直角面AB、AC外侧均无透射光，试求n的取值范围．
（2）若n=$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$，略去入射光在镜内经过三次或三次以上反射的光线，对于与BC边垂直方向成30°入射到D点的细光束（如图中虚线所示），试求细光束在AC边反射时反射点到A点的距离和细光束从BC边出射后的方向．（已知sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，计算结果可以用根号表示）

Answer 1

分析 （1）抓住光线在AB恰好发生全反射，结合折射定律求出折射率的大小，从而得出折射率满足的条件；
（2）作出光路图，根据折射定律，结合几何关系求出细光束在AC边反射时反射点到A点的距离以及从BC边出射后的方向．

解答 解：（1）设光线入射到AB边时恰好发生全反射，$\frac{sin45°}{sin90°}=\frac{1}{n}$
解得n=$\sqrt{2}$
因而要细光束在直角面AB、AC外侧均无透射光，则n≥$\sqrt{2}$．
（2）设细光束入射到AB边上的E点，入射到AC边上的F点，设BE=a，AF=x
由折射定律可知$\frac{sin30°}{sinθ}$=n
可得θ=15°因而θ₁=30°
由正弦定理可知：$\frac{sin30°}{l}=\frac{sin105°}{a}$
可知：a=$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$l
由几何关系可知：tan30°=$\frac{x}{{2\sqrt{2}l-a}}$
解得x=$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{2}$l
由图可知，细光束从BC边出射后与入射方向平行，即与BC边成60°．
答：（1）n的取值范围为n≥$\sqrt{2}$．
（2）细光束在AC边反射时反射点到A点的距离为$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{2}$l，细光束从BC边出射后的方向与BC边成60°．

点评 本题是几何光学问题，关键要正确作出光路图，结合折射定律和数学几何关系综合求解，难度中等．