Question

5．如图所示，为一回旋加速器的示意图，其核心部分为处于匀强磁场中的D形盒，两D形盒之间接交流电源，并留有窄缝，离子在窄缝间的运动时间忽略不计．已知D形盒的半径为R，在D₁部分的中央A处放有离子源，离子带正电，质量为m、电荷量为q，初速度不计．若磁感应强度的大小为B，每次加速时的电压为U．忽略离子的重力等因素．求：
（1）加在D形盒间交流电源的周期T；
（2）离子在第3次通过窄缝后的运动半径r₃；
（3）离子加速后可获得的最大动能E_km．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，然后结合$T=\frac{2πr}{v}$即可求出周期；
（2）粒子经过窄缝3次，则被电场加速3次，由动能定理即可求出粒子的速度，然后由洛伦兹力提供向心力即可求出半径；
（3）设粒子的最大速度为v_m，对应着粒子的最大运动半径即R，由洛伦兹力提供向心力即可求出粒子的最大动能．

解答 解：（1）加在D形盒间交流电源的周期T等于粒子在磁场中的运行周期．
在磁场中洛伦兹力提供向心力，则有：$qvB=\frac{{m{v^2}}}{r}$①
$T=\frac{2πr}{v}$②
联立①②可得：$T=\frac{2πm}{qB}$
（2）设第3次通过窄缝后粒子的速度为v₃，则有：$3qU=\frac{1}{2}mv_3^2$③
在磁场中洛伦兹力提供向心力，则有：$q{v_3}B=\frac{mv_3^2}{r_3}$④
联立③④可得：${r_3}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{6mU}{q}}$
（3）设粒子的最大速度为v_m，对应着粒子的最大运动半径即R，则有：$q{v_m}B=\frac{mv_m^2}{R}$⑤
${E_{km}}=\frac{1}{2}mv_m^2$⑥
联立⑤⑥可得：${E_{km}}=\frac{{{q^2}{B^2}{R^2}}}{2m}$
答：（1）加在D形盒间交流电源的周期是；
（2）离子在第3次通过窄缝后的运动半径是$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{6mU}{q}}$；
（3）离子加速后可获得的最大动能E_km是$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$．

点评 解决本题的关键知道回旋加速器运用电场加速，磁场偏转来加速带电粒子，但要注意粒子射出的速度与加速电压无关，与磁感应强度的大小和D型盒半径有关．