Question

2．如图，小物块A的质量为M，小物块B、C的质量均为m，并满足M＜2m．三物块用轻质细绳通过固定轻质滑轮连接，物块B与C的间距和C到地面的距离均为L．现将物块A下方细绳剪断，已知C与地面碰撞及B与C碰撞后均不弹起，不计一切阻力，设A距滑轮足够远．
（1）B不着地，$\frac{M}{m}$应满足的条件
（2）若M=m，物块A由最初位置上升的最大高度H为多少．

Answer 1

分析 （1）当C着地后，A、B两物体系统机械能守恒，A上升L时，速度最大，结合系统机械能守恒求出物块A上升的最大速度；
C落地后，根据AB两物体系统机械能守恒，求出B恰好落地的临界条件，再判断M与m的关系；
（3）物块B着地后，A做竖直上抛运动，根据运动学公式列式求解．

解答 解：（1）剪断细线到C落地时，三个物体具有共同的速率v₁，对A、B、C整体应用机械能守恒定律有：
2mgL-MgL=$\frac{1}{2}（2m+M）v_1^2$…①
当C落地后，B、C间绳子张力消失，A、B系统的机械能守恒．要使B不着地，应有：
MgL-mgL＞$\frac{1}{2}（m+M）v_1^2$…②
由①②解得：$\frac{M}{m}$＞$\sqrt{2}$
综合题意得：$\sqrt{2}$＜$\frac{M}{m}$＜2
（2）若M=m，C落地时速度为v₂，对A、B、C整体应用机械能守恒定律有：
2mgL-mgL=$\frac{1}{2}×3mv_2^2$…③
C落地后，由于A、B质量相等，因此均做匀速直线运动．A再上升高度L后，B与C相碰，此后A做竖直上抛运动到最高点，设此段高度为h
则有：mgh=$\frac{1}{2}$m$v_2^2$…④
由③④解：h=$\frac{1}{3}L$
故A上升的最大高度为：H=2L+h=$\frac{7}{3}L$
答：（1）B不着地，$\frac{M}{m}$应满足的条件为$\sqrt{2}$＜$\frac{M}{m}$＜2
（2）若M=m，物块A由最初位置上升的最大高度H为$\frac{7L}{3}$．

点评 本题关键是要灵活地选择研究对象，虽然单个物体机械能不守恒，但系统机械能守恒．要注意对整体列机械能守恒的表达式并求解．