Question

13．“嫦娥四号”，专家称“四号星”，计划在2017年发射升空，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料．已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，月球的平均密度为ρ，“嫦娥四号”离月球中心的距离为r，绕月周期为T．根据以上信息下列说法正确的是（　　）

• A． 月球的第一宇宙速度为$\sqrt{GR}$
• B． “嫦娥四号”绕月运行的速度为$\sqrt{\frac{g{r}^{2}}{R}}$
• C． 万有引力常量可表示为$\frac{3π{r}^{3}}{ρ{T}^{2}{R}^{3}}$
• D． “嫦娥四号”必须先加速运动离开月球再减速运动才能返回地球

Answer 1

分析 1、根据重力提供向心力$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，得月球的第一宇宙速度为$v=\sqrt{gR}$．
2、根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，月球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=\frac{GMm}{{R}^{2}}$，得GM=R²g．二式化简可得卫星速度．
3、根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得月球的质量$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，解得月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，变形可得万有引力常量．
4、嫦娥四号必须加速做离心运动才能脱离月球束缚返回地球．

解答 解：A、月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，所以重力提供向心力$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，得$v=\sqrt{gR}$．故A正确．
B、根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，又因为月球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=\frac{GMm}{{R}^{2}}$，得GM=R²g．
所以$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$，故B错误．
C、根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得月球的质量$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，所以月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，所以万有引力常量为$G=\frac{3π{r}^{3}}{ρ{T}^{2}{R}^{3}}$．故C正确．
D、嫦娥四号要脱离月球的束缚才能返回月球，嫦娥四号要脱离月球束缚必须加速做离心运动才行，离开月球再减速运动才能返回地球．故D正确．
故选：ACD．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，会根据该规律计算线速度和中心天体的质量．