Question

11．如图所示，有一个可视为质点的质量为m=1kg的小物块，从光滑平台上的A点以v₀=3m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M=3kg的长木板．已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑接触，小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3，圆弧轨道的半径为R=0.5m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ=53°，不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）A、C两点的高度差；
（2）小物块到达圆弧轨道末端D点时速度为v_D=$\sqrt{29}$ m/s，此时小物块对轨道的压力；
（3）小物块到达圆弧轨道末端D点时速度为v_D=$\sqrt{29}$ m/s，要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度是多少？（sin 53°=0.8，cos 53°=0.6）

Answer 1

分析 （1）小球从A点抛出做平抛运动，将C点的速度进行分解，求出竖直分速度的大小，从而根据竖直方向上的运动规律求出AC两点的高度差．
（2）根据牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出物块对轨道的压力．
（3）当小物块刚好不从长木板滑出时，与木板具有相同的速度，根据牛顿第二定律和运动学公式求出共同的速度，因为摩擦力与相对路程的乘积等于产生的热量，结合能量守恒定律求出木板的长度．

解答 解：（1）小物块在C点时的速度大小为v_C=$\frac{{v}_{0}}{cos53°}$=$\frac{3}{\frac{3}{5}}$=5m/s，
竖直分量为v_Cy=v_Csin53°=4m/s
下落高度h=$\frac{{{v}_{Cy}}^{2}}{2g}=\frac{16}{20}$=0.8m
（2）小球在D点时由牛顿第二定律得F_N-mg=m$\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$
代入数据解得F_N=68N
由牛顿第三定律得F_N′=F_N=68N，方向竖直向下
（3）设小物块刚好滑到木板右端时与木板达到共同速度，大小为v，小物块在木板上滑行的过程中，小物块与长木板的加速度大小分别为
a₁=μg=3m/s²，
a₂=$\frac{μmg}{M}$=1m/s²
速度分别为v=v_D-a₁t，v=a₂t
对物块和木板系统，由能量守恒定律得
μmgL=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$（m+M）v²
解得：L=3.625m，即木板的长度至少是3.625m
答：（1）A、C两点的高度差为0.8m；
（2）小物块到达圆弧轨道末端D点时速度为v_D=$\sqrt{29}$ m/s，此时小物块对轨道的压力大小为68N，方向竖直向下；
（3）小物块到达圆弧轨道末端D点时速度为v_D=$\sqrt{29}$ m/s，要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度是3.625m．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律、能量守恒定律等知识，综合性较强，关键理清物块的运动过程，选择合适的规律进行求解．