Question

（2012?丰台区一模）如图所示，在竖直平面内放置一长为L的薄壁玻璃管，在玻璃管的a端放置一个直径比玻璃管直径略小的小球，小球带电荷量为-q、质量为m．玻璃管右边的空间存在着匀强电场与匀强磁场的复合场．匀强磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度为B；匀强电场方向竖直向下 电场强度大小为

mg

q

．电磁场的左边界与玻璃管平行，右边界足够远．玻璃管带着小球以水平速度v₀垂直于左边界向右运动，由于水平外力F的作用，玻璃管进入磁场后速度保持不变，经一段时间后小球从玻璃管b端滑出并能在竖直平面内自由运动，最后从左边界飞离电磁场． 运动过程中小球的电荷量保持不变，不计一切阻力．求：
（1）小球从玻璃管b端滑出时速度的大小．
（2）从玻璃管进入磁场至小球从b端滑出的过程中，外力F随时间t变化的关系．
（3）通过计算画出小球离开玻璃管后的运动轨迹．

Answer 1

分析：（1）分析小球在管中受力情况，由牛顿第二定律求出加速度．运用运动的分解法，研究小球在竖直方向的运动，由速度位移关系式求出小球从玻璃管b端滑出时竖直方向的分速度大小，再与水平方向速度合成求解小球从玻璃管b端滑出时速度的大小．
（2）玻璃管向右匀速运动，根据平衡条件求解外力F随时间t变化的关系．
（3）小球进入磁场后由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出半径，根据数学知识研究小球的偏向角，再画出轨迹．

解答：解：（1）由题意可知：E=

mg

q

，则有qE=mg，电场力与重力平衡，小球在管子中运动的加速度为：
a=

Fy

m

=

Bv0q

m

．
设小球从玻璃管b端滑出时竖直方向的分速度大小为v_y，则：

v

2 y

=2aL
所以小球从玻璃管b端滑出时速度的大小为：
v=

v 2 0 + v 2 y

=

v 2 0 + 2Bv0q m L

（2）玻璃管向右匀速运动，则有
   F=F_x=Bv_yq
又：v_y=at=

Bv0q

m

t
则外力F随时间t变化的关系：F=

B2v0q2

m

t．
（3）设小球在管中运动时间为t，小球在磁场中做圆周运动的半径为R，轨迹如图1所示．
t时间内玻璃管运动的距离为：x=v₀t
根据牛顿第二定律得：qvB=m

v2

R

得：R=

mv

qB

由几何关系有：sinα=

x-x1

R

              

x1

R

=

vy

v

得：x₁=

vy

v

R=

Bv0qt

mv

?

mv

qB

=v₀t=x
可得：sinα=0，α=0
即小球飞离磁场时速度方向垂直磁场左边界向左，则小球的运动轨迹如图2所示．
答：
（1）小球从玻璃管b端滑出时速度的大小为

v 2 0 + 2Bv0q m L

．
（2）从玻璃管进入磁场至小球从b端滑出的过程z中，外力F随时间t变化的关系为F=

B2v0q2

m

t．
（3）画出小球离开玻璃管后的运动轨迹如图2所示．

点评：本题小球在重力、电场力、洛伦兹力作用下的运动，采用非常规的运动分解法．要注意洛伦兹力大小F=qvB，v应是垂直于F方向的分速度．第（3）问不能只定性画出轨迹如图2所示，要通过定量计算精确研究轨迹如图2所示．