Question

如图所示，竖直放置的质量为4m、长为L的圆管顶端塞有一个可看作质点的弹性圆球，弹性圆球的质量为m，球和管间的滑动摩擦力和最大静摩擦力大小均为4mg．圆管从下端离地面距离为H处自由下落，落地后向上弹起的速度与落地速度大小相等．试求：
（1）圆管底端落地前瞬间的速度；
（2）圆管弹起后圆球不致滑落，L应满足什么条件．
（3）圆管上升的最大高度是多少？

Answer 1

分析：（1）根据v02=2gH求出圆管底端落地前瞬间的速度．
（2）根据牛顿第二定律分别求出管反弹后，球和管的加速度，从而得知球相对于管的加速度，以管为参考系，根据速度位移公式求出球相对于管静止时的相对位移，即为管的至少长度．
（3）根据管上升的加速度，以及相对加速度分别求出管从碰地到它弹到最高点所需时间和管从碰地到与球相对静止所需的时间，比较两个时间知道球与管的运动情况，再根据运动学公式求出管上升的最大高度．

解答：（1）取竖直向下为正方向，则：
根据v02=2gH得，
圆管第一次碰地前的瞬时速度v₀=

2gH

，方向竖直向下
（2）碰地后瞬间，管的速度v_管=-

2gH

，球的速度v_球=

2gH

．球相对管的速度v_相=2

2gH

．
碰后，管受重力作用及向下的摩擦力作用，加速度a_管=2g；球受重力和向上的摩擦力作用，加速度a_球=-3g．球相对管的加速度a_相=-5g．
以管为参考系，则球与管相对静止前，球相对管下滑的距离为：
s_相1=

0-v相2

2a相

=

-(2 2gH )2

2×(-5g)

=

4

5

H
要使球不滑出圆管，应满足：L＞s_相1=

4

5

H
（3）设管从碰地到它弹到最高点所需时间为t₁（设球与管这段时间内摩擦力方向不变），则：
t₁=

v管

a管

=

2gH

2g

．
设管从碰地到与球相对静止所需的时间为t₂，则：
t₂=

v相

a相

=

2 2gH

5g

．
因为t₁＞t₂，说明球与管先达到相对静止，再以共同速度上升到最高点．设球和管达相对静止时的高度为h′，共同速度为v′，则：
h′=v_管t₂-

1

2

a_管t12=

12

25

H
v′=v_管-a_管t₂=

1

5

2gH

此后，球和管以初速度v′竖直上抛．设再上升的高度为h″，则：
h″=

v′2

2g

=

1

25

H
因此，管上升的最大高度H′=h′+h″=

13

25

H．
答：（1）圆管底端落地前瞬间的速度为

2gH

，方向竖直向下．
（2）圆管弹起后圆球不致滑落，L应满足L＞

4

5

H．
（3）圆管上升的最大高度是

1

25

H．

点评：本题的难点在于管和球的运动情况难于判断，关键通过计算理清球和管的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．