Question

（2013?重庆一模）如图，直线MN上方有平行于纸面且与MN成45°的有界匀强电场，电场强度大小未知；MN下方为方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B．今从MN上的O点向磁场中射入一个速度大小为v、方向与MN成45°角的带正电粒子，该粒子在磁场中运动时的轨道半径为R．若该粒子从O点出发记为第一次经过直线MN，而第五次经过直线MN时恰好又通过O点．不计粒子的重力．求：
（1）电场强度的大小；
（2）该粒子再次从O点进入磁场后，运动轨道的半径；
（3）该粒子从O点出发到再次回到O点所需的时间．

Answer 1

分析：首先分析带电粒子的运动情况，先是一段半径为R的

1

4

圆弧到a点，接着恰好逆电场线匀减速运动到b点速度为零再返回a点速度仍为v，再在磁场中运动一段

3

4

圆弧到c点，之后垂直电场线进入电场作类平抛运动，再根据平抛运动和匀速圆周运动的基本公式及几何关系即可解题．

解答：解：粒子的运动轨迹如图，先是一段半径为R的

1

4

圆弧到a点，接着恰好逆电场线匀减速运动到b点速度为零再返回a点速度仍为v，再在磁场中运动一段

3

4

圆弧到c点，之后垂直电场线进入电场作类平抛运动．
（1）易知，

.

oc

=2

2

R
带电粒子类平抛运动的垂直和平行电场方向的位移都为
s⊥=s∥=

.

oc

sin45°=2R  ①
所以类平抛运动时间为
  t3=

s⊥

v

=

2R

v

          ②
又   s∥=

1

2

at32=

qE

2m

t32         ③
再者  R=

mv

qB

                  ④
由①②③④可得：E=vB               ⑤
（2）由平抛知识得：tanβ=2tanα=2          
所以     v_∥=vtanβ=2v         
[或 v∥=

1

2

t3 =

qE

m

2R

v

=

qvB

m

2R

v

=2v]
  v′=

v2+v∥2

=

5

v                    
则第五次过MN进入磁场后的圆弧半径
  R′=

mv′

qB

=

5

R            
（3）粒子在磁场中运动的总时间为 t1=

2πR

v

            ⑥
粒子在电场中的加速度为  a=

qE

m

=

qvB

m

                
粒子做直线运动所需时间为t2=

2v

a

=

2mv

qvB

=

2R

v

        ⑦
由②⑥⑦式求得粒子从出发到第五次到达O点所需时间 t=t1+t2+t3=

2R

v

(2+π)       
答：（1）电场强度的大小为vB；
（2）该粒子再次从O点进入磁场后，运动轨道的半径为

5

R；
（3）该粒子从O点出发到再次回到O点所需的时间为

2R

v

(2+π)．

点评：该题主要考查带电粒子在电场和磁场中的运动问题，对同学们对粒子运动轨迹的分析要求较高，并要熟练掌握平抛运动及匀速圆周运动的基本公式，难度较大．