Question

【题目】遥控电动玩具车的轨道装置如图所示，轨道ABCDEF中水平轨道AB段和BD段粗糙，AB=BD=2.5R，小车在AB和BD段无制动运行时所受阻力是其重力的0.02倍，轨道其余部分摩擦不计。斜面部分DE与水平部分BD、圆弧部分EF均平滑连接，圆轨道BC的半径为R，小段圆弧EF的半径为4R，圆轨道BC最高点C与圆弧轨道EF最高点F等高。轨道右侧有两个与水平轨道AB、BD等高的框子M和N，框M和框N的右边缘到F点的水平距离分别为R和2R。额定功率为P，质量为m可视为质点的小车，在AB段从A点由静止出发以额定功率行驶一段时间t（t未知）后立即关闭电动机，之后小车沿轨道从B点进入圆轨道经过最高点C返回B点，再向右依次经过点D、E、F，全程没有脱离轨道，最后从F点水平飞出，恰好落在框N的右边缘。

（1）求小车在运动到F点时对轨道的压力；

（2）求小车以额定功率行驶的时间t；

（3）要使小车进入M框，小车采取在AB段加速（加速时间可调节），BD段制动减速的方案，则小车在不脱离轨道的前提下，在BD段所受总的平均制动力至少为多少。

Answer 1

【答案】（1）mg，方向竖直向下；（2）；（3）mg

【解析】

（1）小车平抛过程，有：2R=vFt…①

2R=gt2②

由①②联立解得：vF=③

在F点，对小车由牛顿第二定律得：mg﹣FN=m④

由③④得：FN=mg

由牛顿第三定律得小车对轨道的压力大小为mg，方向竖直向下。

（2）小车从静止开始到F点的过程中，由动能定理得：

Pt﹣0.02mg5R﹣mg2R=mvF2⑤

由③⑤得：t=

（3）平抛过程有： R=vFt、2R=gt2

要使小车进入M框，小车在F点的最大速度为vF=⑥

小车在C点的速度最小设为vC，则有：mg=m⑦

设小车在BD段所受总的总的平均制动力至少为f，小车从C点运动到F点的过程中，由动能定理得：

-f2.5R=mvF2-mvC2⑧

由⑥⑦⑧得：f=mg