Question

8．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆．每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示．地球和行星做圆周运动所需的向心力来源于万有引力，该行星与地球的公转半径比为$（\frac{N}{N-1}）^{\frac{2}{3}}$．

Answer 1

分析 由图可知行星的轨道半径大，那么由开普勒第三定律知其周期长，其绕太阳转的慢．每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，说明N年地球比行星多转1圈，即行星转了N-1圈，从而再次在日地连线的延长线上，那么，可以求出行星的周期是$\frac{N}{N-1}$年，接着再由开普勒第三定律求解该行星与地球的公转半径比．

解答 解：地球和行星做圆周运动所需的向心力来源于地球和行星受到的万有引力；
由图可知行星的轨道半径大，那么由开普勒第三定律知其周期长．每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，说明从最初在日地连线的延长线上开始，每一年地球都在行星的前面比行星多转圆周的N分之一，N年后地球转了N圈，比行星多转1圈，即行星转了N-1圈，从而再次在日地连线的延长线上．所以行星的周期是$\frac{N}{N-1}$年，根据开普勒第三定律有$\frac{{{r}_{地}}^{3}}{{{r}_{行}}^{3}}=\frac{{{T}_{地}}^{2}}{{{T}_{行}}^{2}}$，即：$\frac{{r}_{行}}{{r}_{地}}$=$\root{3}{\frac{{{T}_{行}}^{2}}{{{T}_{地}}^{2}}}$=$（\frac{N}{N-1}）^{\frac{2}{3}}$
故答案为：万有引力，$（\frac{N}{N-1}）^{\frac{2}{3}}$

点评 解答此题的关键由题意分析得出每过N年地球比行星多围绕太阳转一圈，由此求出行星的周期，再由开普勒第三定律求解即可．