Question

12．如图甲所示，相距为L的光滑平行金属导轨水平放置，导轨一部分处在以OO′为右边界匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直导轨平面向下，导轨右侧接有定值电阻R，导轨电阻忽略不计．在距边界OO′也为L处垂直导轨放置一质量为m、电阻r的金属杆ab．

（1）若金属杆ab固定在导轨上的初位置，磁场的磁感应强度在t时间内由B均匀减小到零，求此过程中电阻R上产生的电量q．
（2）若ab杆在恒力作用下由静止开始向右运动3L距离，其速度-位移的关系图象如图乙所示（图中所示量为已知量）．求此过程中电阻R上产生的焦耳热Q₁．
（3）若ab杆固定在导轨上的初始位置，使匀强磁场保持大小不变绕OO′轴匀速转动．若磁场方向由图示位置开始转过$\frac{π}{2}$的过程中，电路中产生的焦耳热为Q₂．则磁场转动的角速度ω大小是多少？

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律列式求解平均感应电动势，根据闭合电路欧姆定律求解平均电流，根据电流的定义求解电量q；
（2）对杆运动L的过程运用功能关系列式，对接下来的2L位移过程再次根据动能定理列式，根据焦耳定律得到电阻R上产生的焦耳热与电路中总的焦耳热的关系，最后联立求解；
（3）磁场旋转时，可等效为矩形闭合电路在匀强磁场中反方向匀速转动，根据E_m=BSω求解最大值，根据$E=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$求解有效值，最后根据焦耳定律列式求解．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律，有：
$E=\frac{△Φ}{△t}=\frac{B}{t}{L^2}$
根据闭合电路欧姆定律，有：
$I=\frac{E}{R+r}$
电量：
q=It
联立解得：
$q=\frac{{B{L^2}}}{R+r}$
（2）ab杆由起始位置发生位移L的过程，根据功能关系，有：
 $FL=\frac{1}{2}mv_1^2+{Q_总}$
ab杆从L到3L的过程中，由动能定理可得：
$2FL=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$
联立解得：
${Q_总}=\frac{m（v_2^2-3v_1^2）}{4}$
根据焦耳定律，有：
${Q_1}=\frac{R}{R+r}$Q_总
联立解得：
${Q_1}=\frac{Rm（v_2^2-3v_1^2）}{4（R+r）}$
（3）磁场旋转时，可等效为矩形闭合电路在匀强磁场中反方向匀速转动，所以闭合电路中产生正弦式电流，感应电动势的峰值：
${E_m}=BSω=B{L^2}ω$
有效值：
$E=\frac{E_m}{{\sqrt{2}}}$
根据焦耳定律，有：
${Q_2}=\frac{E^2}{R+r}•\frac{T}{4}$
而$T=\frac{2π}{ω}$，则：
$ω=\frac{{4（R+r）{Q_2}}}{{π{B^2}{L^4}}}$
答：（1）此过程中电阻R上产生的电量q为$\frac{B{L}^{2}}{R+r}$．
（2）此过程中电阻R上产生的焦耳热为$\frac{Rm（{v}_{2}^{2}-3{v}_{1}^{2}）}{4（R+r）}$．
（3）磁场转动的角速度ω大小是$\frac{4（R+r）{Q}_{2}}{π{B}^{2}{L}^{4}}$．

点评 本题关键是区分交流四值，知道求解电量用平均值、求解热量用有效值，同时要结合法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律列式求解，不难．