Question

如图a所示，与水平方向成37°角的直线MN下方有与MN垂直向上的匀强电场，现将一重力不计、比荷

q

m

=10⁶c/kg的正电荷置于电场中的O点由静止释放，经过

π

15

×10^-5s后，电荷以v₀=1.5×l0⁴m/s的速度通过MN进入其上方的匀强磁场，磁场与纸面垂直，磁感应强度B按图b所示规律周期性变化（图b中磁场以垂直纸面向外为正，以电荷第一次通过MN时为t=0时刻）．求：
（1）匀强电场的电场强度E；
（2）图b中t=

4π

5

×10^-5s时刻电荷与第一次通过MN的位置相距多远；
（3）如果电荷第一次通过MN的位置到N点的距离d=68cm，在N点上方且垂直MN放置足够大的挡板．求电荷从O点出发运动到挡板所需的时间．

Answer 1

分析：（1）电荷在电场中做匀加速直线运动，根据运动学公式和牛顿第二定律结合可求出电场强度E．
（2）电荷进入磁场后做匀速圆周运动，分别求出电荷在磁场中运动的半径和周期，画出轨迹，由几何关系求出t=

4π

5

×10^-5s时刻电荷与O点的水平距离．
（3）电荷在周期性变化的磁场中运动，根据周期性分析电荷到达档板前运动的完整周期数，即可求出荷沿ON运动的距离．根据电荷挡板前的运动轨迹，求出其运动时间，即得总时间．

解答：解：（1）电荷在电场中做匀加速直线运动过程，设其在电场中运动的时间为t₁，有：
v₀=at₁ 
Eq=ma
联立解得：
E=

mv0

qt1

=

1.5×104

106× π 15 ×10-5

=7.2×10³N/C            
（2）当磁场垂直纸面向外时，电荷运动的半径：
  r₁=

mv0

B1q

=

1.5×104

0.3×106

=0.05m=5cm
周期：T₁=

2πm

B1q

=

2π

3

×10^-5s
当磁场垂直纸面向里时，电荷运动的半径：
r₂=

mv0

B2q

=

1.5×104

0.5×106

=0.03m=3cm
周期：T₂=

2πm

B2q

=

2π

5

×10^-5s   
故电荷从t=0时刻开始做周期性运动，其运动轨迹如图所示．
t=

4π

5

×10^-5s时刻电荷与O点的水平距离：△d=2（r₁-r₂）=4cm  
（3）电荷从第一次通过MN开始，其运动的周期为：T=

4π

5

×10^-5s
根据电荷的运动情况可知，电荷到达档板前运动的完整周期数为15个，有：
电荷沿ON运动的距离：s=15×△d=60cm  
故最后8cm的距离如图所示，有：r₁+r₁cosα=d-s
解得：cosα=0.6   则  α=53°        
故电荷运动的总时间：t_总=t₁+15T+

1

2

T₁-

53°

360°

T₁=3.86×10^-4s
答：（1）匀强电场的电场强度E为7.2×10³N/C．
（2）图b中t=

4π

5

×10^-5s时刻电荷与O点的水平距离为4cm．
（3）电荷从O点出发运动到挡板所需的时间为3.86×10^-4s．

点评：本题是带电粒子在电场和磁场中运动的问题，电荷在电场中运动时，由牛顿第二定律和运动学公式结合研究是最常用的方法，也可以由动量定理处理．电荷在周期性磁场中运动时，要抓住周期性即重复性进行分析，根据轨迹求解时间．