Question

2．假设宇航员在某星球表面用长为L的轻绳栓一质量为m的小球，使之在竖直面内做圆周运动，如图所示，不计小球在最低点时与星球表面间的距离．小球恰好能运动至最高点，且在最高点时脱离轻绳，此后经时间t落至星球表面．已知万有引力常量为G，该星球半径为R，不考虑星球自转的影响．求：
（1）该星球表面的重力加速度g₀和星球质量M；
（2）小球在最高点时速度v₀的大小；
（3）若宇航员用此装置使小球在竖直面内又做了一次圆周运动，小球在最低点时的速度与（2）中的v₀大小相等，则在最低点轻绳的拉力F_T多大？

Answer 1

分析 （1）小球在最高点脱离绳子后做平抛运动，根据竖直方向做自由落体运动求出重力加速度，再根据星球表面，万有引力等于重力求解星球质量；
（2）小球恰好到达最高点，则在最高点由重力提供向心力，根据向心力公式求解；
（3）在最低点，根据向心力公式列式即可求解．

解答 解：（1）小球在最高点脱离绳子后做平抛运动，则有：
$2L=\frac{1}{2}{g}_{0}{t}^{2}$
解得：g₀=$\frac{4L}{{t}^{2}}$，
在星球表面，万有引力等于重力，则有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$
解得：M=$\frac{4L{R}^{2}}{G{t}^{2}}$
（2）小球恰好到达最高点，则在最高点由重力提供向心力，则有：
$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}=m{g}_{0}$
解得：${v}_{0}=\frac{2L}{t}$
（3）在最低点，根据向心力公式得：
F_T-m${g}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$
解得：F_T=$\frac{8mL}{{t}^{2}}$
答：（1）该星球表面的重力加速度g₀为$\frac{4L}{{t}^{2}}$，星球质量M为$\frac{4L{R}^{2}}{G{t}^{2}}$；
（2）小球在最高点时速度v₀的大小为$\frac{2L}{t}$；
（3）若宇航员用此装置使小球在竖直面内又做了一次圆周运动，小球在最低点时的速度与（2）中的v₀大小相等，则在最低点轻绳的拉力F_T为$\frac{8mL}{{t}^{2}}$．

点评 本题综合考查了平抛运动基本公式、牛顿第二定律、万有引力等于重力这些知识点，突破口是根据平抛运动求解重力加速度，知道小球恰好到达最高点，则在最高点由重力提供向心力，综合性较强，难度适中，需加强训练．