Question

如图所示，竖直的半圆型光滑轨道与水平轨道相切，轨道半径R=0.2m．质量m=0.2kg的小球以某一速度正对半圆型轨道运动，B、D两点分别是半圆轨道的最低点和最高点，小球经过B点的速度为v_B=5m/s，达到D点时加速度的大小为4.5g，求：（取

2

=1.4 ）
（1）小球经过B、D两个位置时对轨道的压力分别多大？
（2）小球从D点飞出后落到水平轨道的位置与B点相距多远？

Answer 1

分析：（1）小球经过D点时，由重力和轨道弹力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出小球经过D点时受到的弹力和速度．小球从B到D的过程，只有重力做功，其机械能守恒，根据机械能守恒定律求出小球经过B点的速度，再牛顿运动定律求解小球经过B点对轨道的压力．
（2）小球从D点飞出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由高度2R求出时间．水平方向做匀速直线运动，由公式x=v_Dt求出小球落到水平轨道的位置与B点的距离．

解答：解：
（1）D点：根据牛顿第二定律得，F_D+mg=ma_D，代入解得F_D=7N．
由牛顿第三定律得，小球经过D时对轨道的压力大小为7N，方向竖直向上．
    由a_D=m

v 2 D

R

，得到v_D=

aDR

=

4.5×10

=3m/s．
小球从B到D过程，由机械能守恒定律得
    2mgR+

1

2

m

v

2 D

=

1

2

m

v

2 B

代入解得  v_B=

v 2 D +4gR

=

32+4×10×0.2

=

17

m/s
B点：根据牛顿第二定律得，F_B-mg=m

v 2 B

R

代入解得  F_B=m（g+

v 2 B

R

）=0.2×（10+

17

0.2

）=19N
由牛顿第三定律得，小球经过B时对轨道的压力大小为19N，方向竖直向下．
（2）小球从D点飞出以v_D=3m/s的初速度做平抛运动．
竖直方向：2R=

1

2

gt2
水平方向：x=v_Dt
联立上两式解得  x=0.84m
答：（1）小球经过B、D两个位置时对轨道的压力分别为19N和7N；
    （2）小球从D点飞出后落到水平轨道的位置与B点相距0.84m．

点评：本题整合了牛顿运动定律、机械能守恒定律、平抛运动等知识，中等难度．抓住圆周运动的向心力是由指向圆心的合力提供．