Question

11．如图所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC，其延长线在D点与半圆轨道相切，轨道半径R=1m，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直于纸面向里的匀强磁场（C点在MN边界上）．一质量为0.4kg的带电小球沿轨道AC下滑，至C点时速度为v₀=$\frac{100}{7}$m/s，接着沿直线CD运动到D处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且恰好能通过F点，在F点速度v_f=4m/s，（不计空气阻力，g=10m/s²，cos37°=0.8）求：
（1）小球带何种电荷；
（2）小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功．
（3）小球从F点飞出时磁场同时消失，小球离开F点后的运动轨迹与直线AC（或延长线）的交点为G（G点未标出），求G点到D点的距离．

Answer 1

分析 带电粒子在只有电场的倾斜轨道上做匀加速运动后，进入电场与磁场混合的场中做匀速直线运动，重力、洛伦兹力与电场力处于平衡状态，接着沿半圆轨道运动刚好能达到D点，最后从D点做类平抛运动，此时所受到的合力正好与速度相互垂直．因此由电场力与电场强度方向可确定小球所带电性，同时利用平抛运动规律可得小球垂直与速度方向上发生的位移，从而求出运动的时间，最终确定沿速度方向的运动的位移．小球在半圆轨道上由运动定理可得克服摩擦力做功多少．

解答 解：（1）小球受到重力、电场力与洛伦兹力作用，如果小球带负电，电场力水平向右，洛伦兹力斜向左下方，重力竖直向下，小球受到的合力不可能为零，也不可能与速度方向在同一直线上，小球不可能做直线运动，则小球带正电．
（2）小球在CD间做匀速直线运动，则有C点的速度与D点的速度相等，即：v₀=$\frac{100}{7}$m/s，
电场力与重力的合力：F=$\frac{mg}{cos37°}$=5N；
从D到F过程，对小球，
由运动定理可得：-W_f-F•2R=$\frac{1}{2}$mv_F²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
代入数据解得：W_f=27.6J．
（3）在CD段，设重力与电场力合力为F，
则：F=qvB，重力与电场力合力：F=$\frac{mg}{cos37°}$=$\frac{0.4×10}{0.8}$=5N，
小球离开F后做类平抛运动，加速度：a=$\frac{F}{m}$，
2R=$\frac{1}{2}$at²，代入数据解得：t=0.4$\sqrt{2}$s，
s=v_Ft=4×0.4$\sqrt{2}$≈2.26m；
答：（1）小球带正电荷；
（2）小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功27.6J．
（3）G点到D点的距离为2.26m．

点评 小球从F点飞出后，正好受到重力与电场力且这两个力的合力与速度垂直，所以刚好做类平抛运动．因此可以将倾斜轨道等效看成水平面，相当于小球做平抛运动，从而可以运用平抛运动规律来处理．