Question

4．如图所示，在直角坐标系xOy平面的y轴左侧区域，存在方向沿y轴负向的匀强电场（y轴为其右边界），场强E=1.0×⁴V/m．在y轴的右侧等腰三角形OMN区域内，存在一磁感应强度B=6.0T、方向垂直xOy平面向里的匀强磁场，其右边界MN与y轴平行，且间距d=5.0m，∠NOM=120°，一质量m=1.0×10^-8kg，电荷量q=1.6×10^-6C的粒子，从电场中的P（-$\frac{6}{5}$$\sqrt{3}$，0.6）点以初速度v₀沿x轴正向抛出，刚好经坐标原点O以与x轴成30°角的方向射入磁场，不计粒子重力．
（1）求粒子从P点抛出时的初速度v₀的大小．
（2）若粒子从第二象限某位置沿x轴正向抛出后，均能经坐标原点O沿与x轴成30°角的方向射入磁场，再从磁场区以内与边界垂直的方向射出，求粒子抛出的所有可能位置．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，设粒子经过O点时速度为v，应有v₀=v•cos30°．根据牛顿第二定律和运动学公式结合，可求解v₀．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，可得到y与R的关系式．粒子经坐标原点O时速度偏向角为30°，可得到tan30°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\frac{1}{2}{v}_{y}t}{\frac{1}{2}{v}_{0}t}$=$\frac{2y}{x}$，从而得出粒子抛出位置的坐标必满足的方程．据题粒子磁场边界垂直射出有两种情况：一是从边界OM垂直射出，一是从边界OM垂直射出，由几何关系得到R的值，从而可得到粒子抛出的所有可能位置．

解答 解：（1）设粒子经过O点时速度为v，竖直分速度为v_y，由题意可知：
v₀=v•cos30°…①
${v}_{y}^{2}$=2ay…②
a=$\frac{qE}{m}$…③
v=2v_y …⑤
由②③④得：v=$\sqrt{\frac{8Eqy}{m}}$…⑤
所以由①得：v₀=$\sqrt{\frac{8Eqy}{m}}$•cos30°=$\sqrt{\frac{8×1{0}^{4}×1.6×1{0}^{-6}×0.6}{1{0}^{-8}}}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2.4×10³m/s
（2）设粒子在电场中的抛出位置为（x、y），射入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力提供向心力，得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑥
由⑤⑥可得：y=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{8mE}$=$\frac{1.6×1{0}^{-6}×{6}^{2}}{8×1{0}^{-8}×1{0}^{4}}{R}^{2}$=7.2×10^-2R²…⑦
因粒子经坐标原点O时速度偏向角为30°，则 tan30°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\frac{1}{2}{v}_{y}t}{\frac{1}{2}{v}_{0}t}$=$\frac{2y}{x}$，即粒子抛出位置的坐标必满足方程：
y=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x…⑧
于是得抛出位置的横坐标为：x=-$\frac{72}{5}$$\sqrt{3}$×10^-2R²…⑨
分两种情况讨论：
Ⅰ、当粒子从边界MN垂直射出磁场时：
R=2d=10m
将R值代入⑨式得抛出位置的横坐标：x=-$\frac{72}{5}\sqrt{3}$m
Ⅱ、当粒子从边界OM垂直射出磁场，且运动轨迹恰与边界MN相切，由几何知识求得：
R=$\frac{2d}{3}$=$\frac{10}{3}$m
将R值代入⑨式得抛出位置的横坐标：x=-$\frac{8}{5}\sqrt{3}$m
综上所得，要使粒子从磁场边界垂直射出，粒子抛出的位置必须在直线 y=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x上，区间范围为：x=-$\frac{72}{5}\sqrt{3}$m或-$\frac{8}{5}\sqrt{3}$m≤x＜0．
答：（1）粒子从P点抛出时的初速度v₀的大小是2.4×10³m/s．
（2）要使粒子从磁场边界垂直射出，粒子抛出的位置必须在直线 y=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x上，区间范围为：x=-$\frac{72}{5}\sqrt{3}$m或-$\frac{8}{5}\sqrt{3}$m≤x＜0．

点评 粒子在电场中类平抛运动研究的方法是运动的分解法，在磁场中要明确洛伦兹力提供向心力，运用几何知识得到轨迹半径，关键要能运用数学知识得到抛出位置坐标的参数方程．