Question

10．如图所示，水平面上固定一个倾角为θ=37°的足够长斜面，斜面顶端有一光滑的轻质定滑轮，跨过定滑轮的轻细绳两端分别连接物块A和B（两物块均可视为质点），其中物块A的质量为m_A=0.8kg，物块B的质量为m_B=1.2kg．一轻质弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于斜面上的C点．初始时物块A到C点的距离为L=0.5m．现给A、B一大小为v₀=3m/s的初速度使A开始沿斜面向下运动，B向上运动．若物块B始终未到达斜面顶端，物块A与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²，空气阻力不计．
（1）试求物块A向下刚运动到C点时的速度大小；
（2）若弹簧的最大压缩量为△x=0.2m，试求弹簧的最大弹性势能E_pm；
（3）在（2）的基础上，若物块B刚开始运动时离水平面的高度h=0.6m，求当物块B落 地后，物块A能够上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）A下滑到C的过程，对AB组成的系统，运用动能定理求物块A向下刚运动到C点时的速度大小；
（2）当弹簧的压缩量最大时，A、B的速度均为零，对两个物体及弹簧组成的系统，运用能量守恒定律求弹簧的最大弹性势能E_pm；
（3）物体A沿斜面向下运动，压缩弹簧后再沿斜面向上运动．在从物体A开始运动到A、B返回原处的过程中，只有摩擦力做功不为零，由动能定理求得AB返回原处时的速度大小．再运用动能定理求出B刚落地时两者的速度，之后A继续沿斜面向上运动，再由动能定理求得A上滑的距离，从而求得物块A能够上升的最大高度．

解答 解：（1）设物块A向下刚运动到C点时的速度大小为v，则由动能定理得：
m_AgLsinθ-μm_Agcosθ•L-m_BgL=$\frac{1}{2}$$（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}^{2}$-$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{0}^{2}$
代入数据解得：v=$\sqrt{\frac{19}{5}}$m/s
（2）当弹簧的压缩量达到最大时，此时物块A、B的速度均为零，对两个物体及弹簧组成的系统，运用能量守恒定律得：
$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{0}^{2}$+m_Ag（L+△x）sinθ=μm_Agcosθ•（L+△x）+m_Bg（L+△x）+E_pm．
代入数据解得：E_pm=1.72J
（3）由题意可知，物块A沿斜面向下运动，压缩弹簧后再沿斜面向上运动，在从物块A开始运动到A、B返回原处的过程中，只有摩擦力做功不为零，设A、B返回原处时的速度大小为v′，由动能定理得：
$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）v{′}^{2}$-$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{0}^{2}$=-μm_Agcosθ•2（L+△x）
此后物块A沿斜面向上运动，设物块B刚刚到达地面时的速度大小为v″，则由动能定理得：
$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）v{″}^{2}$-$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）v{′}^{2}$=m_Bgh-m_Aghsinθ-μm_Agcosθ•h
之后物块A上升到最高点的过程中，不再受绳子的拉力作用，设物块A能够上升的最大高度为H，由动能定理得：
-m_AgH-μm_Agcosθ•$\frac{H}{sinθ}$=0-$\frac{1}{2}{m}_{A}v{″}^{2}$
代入数据解得：H=0.2076m
答：（1）物块A向下刚运动到C点时的速度大小是$\sqrt{\frac{19}{5}}$m/s；
（2）若弹簧的最大压缩量为△x=0.2m，弹簧的最大弹性势能E_pm是1.72J；
（3）当物块B落 地后，物块A能够上升的最大高度是0.2076m．

点评 本题是多过程问题，按时间顺序进行分析受力情况和运动过程分析，分段运用动能定理．要注意滑动摩擦力做功与路程有关．